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课时提升作业 六
简单的逻辑联结词
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·东莞高二检测)若命题“p”与命题“p∨q”都是真命题,那么 ( )
A.命题p与命题q的真假相同
B.命题p一定是真命题
C.命题q不一定是真命题
D.命题q一定是真命题
【解题指南】根据命题和其否定真假性相反,判定出p的真假,结合“或”命题真假确定q的真假.对照选项即可.
【解析】选D.命题p是真命题,则p是假命题.又命题p∨q是真命题,所以必有q是真命题.
【补偿训练】如果命题“p且q”是假命题,“非p”是真命题,那么 ( )
A.命题p一定是真命题
B.命题q一定是真命题
C.命题q可以是真命题也可以是假命题
D.命题q一定是假命题
【解析】选C.“非p”是真命题,则p为假命题,命题q可以是真命题也可以是假命题.
2.(2016·黄冈高二检测)如果命题“(p∨q)”为真命题,则 ( )
A.p,q均为真命题
B.p,q均为假命题
C.p,q中至少有一个为真命题
D.p,q中一个为真命题,一个为假命题
【解析】选B.由(p∨q)为真等价于(p)∧(q)为真命题,故p和q均为真命题,可得p和q均为假命题.
3.(2016·石家庄高二检测)已知命题p:“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,命题q:“>”的充要条件为“lna>lnb”,则下列复合命题中假命题是 ( )
A.p∨q B.p∧q C.(p)∨(q) D.p∧(q)
【解析】选B.对于命题p,中括号内【“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”】整个是p命题,而不是单看引号内的命题,p为真;对于命题q,当a=1,b=0时,>,但lna>lnb不成立,q是假命题,所以q是真命题;所以p∧q是假命题,p∨q,(p)∨(q)和p∧(q)是真命题.
4.已知命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函
数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数.若p且q为真命题,则实数a的取值范围
是 ( )
A.(1,+∞) B.(1,2]
C.(-∞,2] D.(-∞,1]∪(2,+∞)
【解析】选B.由题意,命题p:
解得a>1.命题q:2-a<0,得a>2,
所以q:a≤2,故由p且q为真命题,得1
C.p且q为真命题 D.p或q为真命题
【解析】选A.因为实数a满足1
A.p∧q B.(p)∨q
C.p∧(q) D.p∨q
【解析】选B.因为y=x+在上为减函数,在[,4]上为增函数,
所以当x=1时,y=1+2=3,当x=4时,y=4+=,即最大值为,
当x=时,y=+=+=2,即最小值为2,
故函数的值域为,故命题p为假命题.
若a>0,则a+1>a,则lo(a+1)
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·信阳高二检测)已知命题p:a2≥0(a∈R),命题q:函数f(x)=x2-x在区间及
(0,+∞)上都是减函数,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.给出下列结论:
①“p∨q”是真命题 ②“p∨q”是假命题
③p为假命题 ④q为假命题
其中所有正确结论的序号为 .
【解析】当a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零度角,所以命题p是假命题;命题q是假命题,例如f(x)=故①③④错误,②正确.
答案:②
8.(2016·临汾高二检测)已知c>0,且c≠1.设命题p:函数f(x)=logcx为减函数,命题q:当x∈时,函数g(x)=x+>恒成立.如果p或q为真命题,p且q为假命题,则实数c的取值范围为 .
【解题指南】先从p,q都为真命题求出c的范围,再利用p,q一真一假确定c的范围.
【解析】由f(x)=logcx为减函数得0
答案:∪(1,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(教材P18习题1.3A组T3改编)写出下列命题的p∨q,p∧q,p的形式,并判断其真假:
(1)p:是有理数;q:是实数.
(2)p:5不是15的约数;q:5是15的倍数.
(3)p:空集是任何集合的子集;q:空集是任何集合的真子集.
【解析】(1)p∨q:是有理数或是实数,真命题;
p∧q:是有理数且是实数,假命题;
p:不是有理数,真命题.
(2)p∨q:5不是15的约数或5是15的倍数,假命题;
p∧q:5不是15的约数且5是15的倍数,假命题;
p:5是15的约数,真命题.
(3)p∨q:空集是任何集合的子集或空集是任何集合的真子集,真命题;
p∧q:空集是任何集合的子集且空集是任何集合的真子集,假命题;
p:空集不是任何集合的子集;假命题.
【补偿训练】分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“p”形式的命题的真假:
(1)p:6<6,q:6=6.
(2)p:梯形的对角线相等;q:梯形的对角线互相平分.
(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点;
q:不等式x2+x+2<0无解.
【解析】(1)因为p为假命题,q为真命题,
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为真命题.
(2)因为p为假命题,q为假命题,
所以p∧q为假命题,p∨q为假命题,p为真命题.
(3)因为p为真命题,q为真命题,
所以p∧q为真命题,p∨q为真命题,p为假命题.
10.(2016·泉州高二检测)设命题p:函数f(x)=是R上的减函数,命题q:函数f(x)=x2-4x+3在上的值域是.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
【解析】若命题p为真,则0
因为p∨q为真,p∧q为假,得p,q中一真一假.
若p真q假,
则
得
则
得≤a≤4;
综上:实数a的取值范围为
1.(2016·益阳高二检测)已知命题p:函数f(x)=|sin2x-|的最小正周期为π;命题q:若函数f(x+1)为偶函数,则f(x)关于x=1对称.则下列命题是真命题的
是 ( )
A.p∧q B.p∨q
C.(p)∧(q) D.p∨(q)
【解析】选B.函数f(x)==|2sin2x-1|=|cos2x|,
因为cos2x的周期是π,
所以函数f(x)=的最小正周期为,即命题p是假命题.
若函数f(x+1)为偶函数,则f(-x+1)=f(x+1),即f(x)关于x=1对称,所以命题q为真命题,则p∨q为真命题.
2.(2016·株洲高二检测)已知命题p:π是有理数,命题q:x2-3x+2<0的解集是(1,2).给出下列结论:
(1)命题p∧q是真命题.
(2)命题p∧(q)是假命题.
(3)命题(p)∨q是真命题.
(4)命题(p)∨(q)是假命题,其中正确的是 ( )
A.(1)(3) B.(2)(4) C.(2)(3) D.(1)(4)
【解析】选C.因为命题p:π是有理数,是假命题,命题q:x2-3x+2<0的解集是(1,2)是真命题,
所以p是真命题,q是假命题,所以(1)命题p∧q是真命题错误.
(2)命题p∧(q)是假命题,正确.
(3)命题(p)∨q是真命题,正确.
(4)命题(p)∨(q)是假命题,错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.给出命题p:直线ax+3y+1=0与直线2x+(a+1)y+1=0互相平行的充要条件是a=-3,命题q:若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.关于以上两个命题,下列结论中正确的是 .
①命题“p且q”为真 ②命题“p或q”为假
③命题“p或q”为假 ④命题“p且q”为真
【解析】若两直线平行,则必满足a(a+1)-2×3=0,解得a=-3或a=2,但当a=2时两直线重合,所以两直线平行⇔a=-3,所以命题p为真;命题q中如果这三点不在平面β的同侧,则不能推出α∥β,所以命题q为假,故只有④正确.
答案:④
4.(2016·洛阳高二检测)已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在,
故p为真命题时,a的取值范围为.
(2)当q为真命题时a的取值范围为a≥-,
由题意得,p与q一真一假,从而
当p真q假时有a无解;
当p假q真时有
所以a>3或-≤a<0.
所以实数a的取值范围是∪(3,+∞).
【补偿训练】已知命题p:(x+1)(x-5)≤0,命题q:1-m≤x≤1+m.
(1)若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.
(2)若m=5,“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数x的取值范围.
【解析】(1)由p可得集合A={x|-1≤x≤5},由q可得集合B={x|1-m≤x≤1+m}.由p是q的必要条件,则B⊆A,
①B=Ø,1-m>1+m,m<0;
②B≠Ø,m≥0,1-m≥-1且1+m≤5,0≤m≤2,
综上,m≤2.
(2)“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,
则p与q一真一假,
p真q假,x的取值范围是Ø.
p假q真,x的取值范围是.
所以x的取值范围为.
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