高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评13 Word版含答案

学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．下列说法：
①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．
其中正确的个数是(　　)
A．0　 B．1
C．2 D．3
【解析】　根据二面角的定义知①②③都不正确．
【答案】　A
2．如图2­3­26，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是(　　)
图2­3­26
A．平面ABCD
B．平面PBC
C．平面PAD
D．平面PBC
【解析】　由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，从而有CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.
【答案】　C
3．在四面体A­BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A­BD­C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED的度数为(　　)
A．45° B．30° C．60° D．90°
【解析】　如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，
取BD的中点为F，连接AF，CF，
则由题意可得AF＝CF＝a.
在Rt△AFC中，易得AC＝a，
∴△ACD为正三角形．
又∵E是CD的中点，
∴AE⊥CD，即∠AED＝90°.
【答案】　D
4．如图2­3­27，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为(　　)
【导学号：09960079】
图2­3­27
A．60° B．30°
C．45° D．15°
【解析】　由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，
∴C对．
【答案】　C
5．如图2­3­28，在三棱锥P­ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是(　　)
图2­3­28
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【解析】　A正确，∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；
B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，
∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，
∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；
C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；
D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．
【答案】　D
二、填空题
6．矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝，则二面角A­BD­P的度数为________．
【解析】　过点A作AE⊥BD，连接PE，则∠AEP为所求角．
∵由AB＝3，AD＝4知BD＝5，
又AB·AD＝BD·AE，
∴AE＝.
∴tan ∠AEP＝＝.∴∠AEP＝30°.
【答案】　30°
7．在平面几何中，有真命题：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．某同学将此结论类比到立体几何中，得一结论：如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补．
你认为这个结论________．(填“正确”或“错误”)
【解析】　如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，平面CDD1C1⊥平面ABCD，而二面角A­C1D1­C为45°，二面角A­BC­C1为90°.
则这两个二面角既不相等又不互补．
【答案】　错误
三、解答题
8．如图2­3­29，在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC.
图2­3­29
【证明】　∵PA⊥平面ABCD，
BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PA.又tan ∠ABD＝＝，
tan ∠BAC＝＝，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC.
又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.
9．(2016·临沂高一检测)如图2­3­30，在三棱锥P­ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点.
【导学号：09960080】
图2­3­30
(1)求证：DE∥平面PAC；
(2)求证：AB⊥PB；
(3)若PC＝BC，求二面角P­AB­C的大小．
【解】　(1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，
所以DE∥PA.
又因为PA⊂平面PAC，DE⊄平面PAC，
所以DE∥平面PAC.
(2)证明：因为PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，
所以PC⊥AB.
又因为AB⊥BC，PC∩BC＝C，
所以AB⊥平面PBC，
又因为PB⊂平面PBC，
所以AB⊥PB.
(3)由(2)知，AB⊥PB，AB⊥BC，
所以∠PBC即为二面角P­AB­C的平面角，
因为PC＝BC，∠PCB＝90°，
所以∠PBC＝45°，
所以二面角P­AB­C的大小为45°.
[自我挑战]
10．如图2­3­31所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD.则在三棱锥A­BCD中，下列命题正确的是(　　)
图2­3­31
A．AD⊥平面BCD
B．AB⊥平面BCD
C．平面BCD⊥平面ABC
D．平面ADC⊥平面ABC
【解析】　在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，
又AD⊥AB，AD∩CD＝D，
故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.
【答案】　D
11．如图2­3­32所示，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.
图2­3­32
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A­BE­P的大小．
【导学号：09960081】
【解】　(1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°，知△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，
BE⊂平面ABCD，
所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE⊂平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以PB⊥BE.又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A­BE­P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，
则∠PBA＝60°.
故二面角A­BE­P的大小是60°.