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课时提升作业(八)
函数的表示法
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知f(x)是反比例函数,且f(-3)=-1,则f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=- B.f(x)=
C.f(x)=3x D.f(x)=-3x
【解析】选B.设f(x)=(k≠0),由f(-3)=-1得=-1,所以k=3.所以f(x)=.
2.函数y=f(x)的图象如图,则f(x)的定义域是 ( )
A.R
B.(-∞,1)∪(1,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,+∞)
D.(-1,0)
【解析】选C.由图象知x≠0,即x∈(-∞,0)∪(0,+∞).
3.(2015·威海高一检测)已知f=2x+3,且f(m)=6,则m等于 ( )
A.- B. C. D.-
【解析】选A.令x-1=t,则x=2(t+1),所以f(t)=4(t+1)+3=4t+7,
所以f(x)=4x+7,由f(m)=6得4m+7=6,所以m=-.
【一题多解】选A.由2x+3=6得x=,所以m=x-1=×-1=-.
4.已知函数f(x)的定义域A={x|0≤x≤2},值域B={y|1≤y≤2},下列选项中,能表示f(x)的图象的只可能是 ( )
【解析】选D.根据函数的定义,观察图象,对于选项A,B,值域为{y|0≤y≤2},不符合题意,而C中当0≤x<2时,一个自变量x对应两个不同的y,不是函数.
5.如果f=,则当x≠0,1时,f(x)= ( )
A. B. C. D.-1
【解析】选B.令=t(t≠0,t≠1),所以x=.所以f(t)==·=,所以f(x)=(x≠0,x≠1).
【误区警示】用换元法求函数的解析式时,要注意新元的范围,否则易出错.
【补偿训练】已知x≠0,函数f(x)满足f=x2+,则f(x)的表达式
为 ( )
A.f(x)=x+ B.f(x)=x2+2
C.f(x)=x2 D.f(x)=
【解析】选B.因为x≠0,f=x2+=+2,所以f(x)=x2+2(x≠0).
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·郑州高一检测)已知g(x-1)=2x+6,则g(3)= .
【解析】因为g(x-1)=2x+6,
令x-1=t,则x=t+1,
所以g(t)=2(t+1)+6=2t+8,即g(x)=2x+8,
所以g(3)=2×3+8=14.
答案:14
【一题多解】本题还可用以下方法求解:
因为g(x-1)=2x+6,
所以g(3)=g(4-1)=2×4+6=14.
答案:14
【补偿训练】已知f(2x+1)=x2-2x,则f(5)= .
【解析】令2x+1=5,则x=2,代入已知条件可得f(5)=22-2×2=0.
答案:0
7.(2015·荆门高一检测)若f(x)是一次函数,f(f(x))=4x-1,则f(x)= .
【解析】设f(x)=kx+b,则f(f(x))=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x-1.
所以解得或
所以f(x)=2x-或f(x)=-2x+1.
答案:2x-或-2x+1
8.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f的值等于 .
【解析】因为f(3)=1,所以=1,
所以f=f(1)=2.
答案:2
【补偿训练】已知f(x)=π(x∈R),则f(π2)等于 ( )
A.π2 B.π C. D.不确定
【解析】选B.由题意知函数f(x)为常函数,所以f(π2)=π.
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.求下列函数解析式:
(1)(2015·温州高一检测)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x).
(2)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式.
【解析】(1)由题意,设函数为f(x)=ax+b(a≠0),
因为3f(x+1)-f(x)=2x+9,
所以3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9,
即2ax+3a+2b=2x+9,
由恒等式性质,得所以a=1,b=3.
所以所求函数解析式为f(x)=x+3.
(2)设x+1=t,则x=t-1,
f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1,即f(t)=t2+2t-2.
所以所求函数为f(x)=x2+2x-2.
10.作出下列函数的图象:
(1)y=1-x,x∈Z.
(2)y=x2-4x+3,x∈[1,3].
【解析】(1)因为x∈Z,所以图象为一条直线上的孤立点,如图(1)所示.
(2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x=1,3时,y=0;
当x=2时,y=-1,其图象如图(2)所示.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.定义域为R的函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=2x+1,则f(x)= ( )
A.-2x+1 B.2x-
C.2x-1 D.-2x+
【解析】选D.由f(x)+2f(-x)=2x+1, ①
可得f(-x)+2f(x)=-2x+1, ②
②×2-①得,3f(x)=-6x+1,所以f(x)=-2x+.
2.函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=(x-a)2(b-x)
B.f(x)=(x-a)2(x+b)
C.f(x)=-(x-a)2(x+b)
D.f(x)=(x-a)2(x-b)
【解析】选A.由图象知,当x=b时,f(x)=0,故排除B,C;又当x>b时,f(x)<0,排除D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.f(x)为一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)的解析式为 .
【解题指南】设出一次函数f(x)的解析式f(x)=ax+b(a≠0),由2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,得关于a,b的方程组,解出即可.
【解析】设一次函数f(x)=ax+b(a≠0),
由2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,
得即
解得a=3,b=-2.
所以f(x)=3x-2.
答案:f(x)=3x-2
4.(2015·台州高一检测)函数f(x)满足f(x+1)=x(x+3),x∈R,则f(x)= .
【解析】令t=x+1,得x=t-1,则f(t)=(t-1)(t-1+3)=(t-1)(t+2).
所以f(x)=(x-1)·(x+2).
答案:·
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意的实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析式.
【解题指南】对y赋值,得到关于f(0)的结论,利用条件f(0)=1,求出f(x)的解析式.
【解析】因为对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),所以令y=x,
有f(0)=f(x)-x(2x-x+1),
即f(0)=f(x)-x(x+1),又f(0)=1,
所以f(x)=x(x+1)+1=x2+x+1,
即f(x)=x2+x+1.
【拓展延伸】赋值法求函数解析式
(1)适用范围:通常给出一个函数方程及一些特殊值的函数值,然后求出函数解析式.
(2)解决策略:根据需要给式子中的变量赋予特殊的意义,可以是特殊值,也可以是两个变量之间的某种特殊的关系,从而达成最终的目标.
6.画出二次函数f(x)=-x2+2x+3的图象,并根据图象回答下列问题:
(1)比较f(0),f(1),f(3)的大小.
(2)若x1
【解析】f(x)=-(x-1)2+4的图象,如图所示:
(1)f(0)=3,f(1)=4,f(3)=0,
所以f(1)>f(0)>f(3).
(2)由图象可以看出,当x1
所以f(x1)
(-∞,4].
【延伸拓展】利用函数的图象解决有关问题的注意点
函数的图象可以形象地反映函数的性质,通过观察图象可以确定图象的变化趋势,便于数形结合解决问题.利用图象时,要注意图象中标出的关键点.
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