第三章 3.3 第3课时
一、选择题
1．若变量x、y满足约束条件，则z＝x－2y的最大值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] B
[解析] 先作出可行域如图．
作直线x－2y＝0在可行域内平移，当x－2y－z＝0在y轴上的截距最小时z值最大．
当移至A(1，－1)时，zmax＝1－2×(－1)＝3，故选B．
2．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A．[－，6] B．[－，－1]
C．[－1,6] D．[－6，]
[答案] A
[解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．根据约束条件，画出可行域如图，作直线l0：3x－y＝0，将直线平移至经过点A(2,0)处z有最大值，经过点B(，3)处z有最小值，即－≤z≤6.
3．设z＝x－y，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
[答案] A
[解析] 作出可行域如图中阴影部分．直线z＝x－y即y＝x－z.经过点A(2,1)时，纵截距最大，∴z最小．zmin＝1.
4．变量x、y满足下列条件，则使z＝3x＋2y最小的(x，y)是( )
A．(4,5) B．(3,6)
C．(9,2) D．(6,4)
[答案] B
[解析] 检验法：将A、B、C、D四选项中x、y代入z＝3x＋2y按从小到大依次为A、B、D、C．然后按A→B→D→C次序代入约束条件中，A不满足2x＋3y＝24，B全部满足，故选B．
5．已知x、y满足约束条件，则z＝x＋y的最大值是( )
A． B．
C．2 D．4
[答案] B
[解析] 画出可行域为如图阴影部分．
由，解得A(，)，
∴当直线z＝x＋y经过可行域内点A时，z最大，且zmax＝.
6．(2014·广东理，3)若变量x，y满足约束条件
，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案] B
[解析] 作出可行域如图，
由得∴A(－1，－1)；
由得∴B(2，－1)；
由得∴C(，)．
作直线l：y＝－2x，平移l可知，当直线y＝－2x＋z，经过点A时，z取最小值，当ymin＝－3；当经过点B时，z取最大值，zmax＝3，
∴m＝3，n＝－3，∴m－n＝6.
二、填空题
7．已知x、y满足约束条件，则z＝3x＋2y的最大值为________．
[答案] 5
[解析] 作出可行域如图，当直线z＝3x＋2y平移到经过点(1,1)时，z最大∴zmax＝5.
8．已知x、y满足，则x2＋y2的最大值为________．
[答案] 25
[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示．
由图知，A(－3，－4)，B(－3,2)，C(3,2)，
则|OA|＝＝5，
|OB|＝＝，
|OC|＝＝.
设P(x，y)是不等式组表示的平面区域内任意一点，
则x2＋y2＝()2＝|OP|2，
由图知，|OP|的最大值是|OA|＝5，则x2＋y2最大值为|OA|2＝25.
三、解答题
9．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g．已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．
[解析] 设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则，作出可行域如图所示．
目标函数为：z＝2x＋y.
作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大．此时z＝2x＋y取最大值．
故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润．
10．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．
[解析] 设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元，则由题意知目标函数为z＝320x＋504y(其中x，y∈N)．作出可行域如图所示．
由图易知，当直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z＝320x＋504y取得最小值，zmin＝320×8＋504×0＝2560，∴每天调出A型车8辆，B型车0辆，公司所花成本费最低．
一、选择题
1．已知x、y满足，则的最值是( )
A．最大值是2，最小值是1 B．最大值是1，最小值是0
C．最大值是2，最小值是0 D．有最大值无最小值
[答案] C
[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图．
表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A(1,2)处取得最大值2.在x轴上的线段BC上时取得最小值0，∴选C．
2．若实数x、y满足不等式组，则3x＋4y的最小值是( )
A．13 B．15
C．20 D．28
[答案] A
[解析] 作出可行域如图所示，
令z＝3x＋4y，∴y＝－x＋
求z的最小值，即求直线y＝－x＋截距的最小值．
经讨论知点M为最优解，即为直线x＋2y－5＝0与2x＋y－7＝0的交点，解之得M(3,1)．
∴zmin＝9＋4＝13.
3．已知变量x、y满足约束条件，则z＝2x＋y的最大值为( )
A．4 B．2
C．1 D．－4
[答案] B
[解析] 作出可行域如图，
作直线l0：2x＋y＝0，平移直线l0可见，当l0经过可行域内的点B(1,0)时，z取得最大值，∴zmax＝2×1＋0＝2.
4．为支援灾区人民，某单位要将捐献的100台电视机运往灾区，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装电视机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装电视机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A．2 800元 B．2 400元
C．2 200元 D．2 000元
[答案] C
[解析] 设调用甲型货车x辆，乙型货车y辆，则0≤x≤4,0≤y≤8,20x＋10y≥100，即2x＋y≥10，设运输费用为t，则t＝400x＋300y.
线性约束条件为，
作出可行域如图，则当直线y＝－x＋经过可行域内点A(4,2)时，t取最小值2 200，故选C．
二、填空题
5．已知实数x、y满足，则z＝2x＋y的最小值是________．
[答案] －1
[解析] 画出可行域如图中阴影部分所示．
由图知，z是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，当直线y＝－2x＋z经过点A(－1,1)时，z取最小值，此时x＝－1，y＝1，则z的最小值是zmin＝2x＋y＝－2＋1＝－1.
6．设x、y满足约束条件，则z＝2x＋y的最大值是________．
[答案] 2
[解析] 可行域如图，当直线z＝2x＋y即y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，zmax＝2.
三、解答题
7．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t和1.5 元/t，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/t和1.6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
[解析] 设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费
z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(260－y)(万元)即z＝716－0.5x－0.8y.
x、y应满足，
即，
作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．
设直线x＋y＝280与y＝260的交点为M，则M(20,260)．把直线l0：5x＋8y＝0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小．
∵点M的坐标为(20,260)，
∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．
8．某厂有一批长为18m的条形钢板，可以割成1.8m和1.5m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．
[解析] 设割成的1.8m和1.5m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，
则z＝20x＋15y－(x＋0.6y)即z＝19x＋14.4y且
，
作出不等式组表示的平面区域如图，
又由，
解出x＝，y＝，
∴M(，)，
∵x、y为自然数，在可行区域内找出与M最近的点为(3,8)，此时z＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．
又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)；
过顶点(8,0)的直线使z＝19×8＋14.4×0＝152(元)．
M(，)附近的点(1,10)、(2,9)，直线z＝19x＋14.4y过点(1,10)时，z＝163；过点(2,9)时z＝167.6.
∴当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．
答：只要截1.5m长的零件12个，就能获得最大利润．