第一讲 坐标系
三、简单曲线的极坐标方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．极坐标方程ρcos θ＝－6表示( )
A．过点(6，π)垂直于极轴的直线
B．过点(6，0)垂直于极轴的直线
C．圆心为(3，π)，半径为3的圆
D．圆心为(3，0)，半径为3的圆
解析：将ρcos θ＝－6化为直角坐标方程是：x＝－6，它表示过点(6，π)垂直于极轴的直线．
答案：A
2．圆ρ＝(cos θ＋sin θ)的圆心的极坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，圆心的直角坐标是，化为极坐标是.
答案：A
3．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )
A．ρcos θ＝2 B．ρsin θ＝2
C．ρ＝4sin D．ρ＝4sin
解析：将圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，它与直线x－2＝0相切，将x－2＝0化为极坐标方程为ρcos θ＝2.
答案：A
4．已知点P的极坐标是(1，π)，则过点P且垂直于极轴的直线的方程是( )
A．ρ＝1 B．ρ＝cos θ
C．ρ＝－ D．ρ＝
解析：设M为所求直线上任意一点(除P外)，其极坐标为(ρ，θ)，在直角三角形OPM中(O为极点)，ρcos|π－θ|＝1，即ρ＝－.经检验，(1，π)也适合上述方程．
答案：C
5．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1
解析：由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2.
答案：B
二、填空题
6．直线x－y＝0的极坐标方程为__________________．
解析：直线方程x－y＝0变为极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝0，即cos θ－sin θ＝0，故tan θ＝，
故θ＝或θ＝π，
所以直线x－y＝0的极坐标方程为θ＝或θ＝.
答案：θ＝或
7．圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为___________．
解析：将圆心的极坐标化为直角坐标为.因为圆的半径为3，故圆的直角坐标方程为＋＝9，化为极坐标方程为ρ＝6cos.
答案：ρ＝6cos
8．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．
解析：将直线l的极坐标方程2ρsin＝化为直角坐标方程为x－y＋1＝0.
由A得A点的直角坐标为(2，－2)，
从而点A到直线l的距离d＝＝.
答案：
三、解答题
9．在极坐标系中，已知点P为圆ρ2＋2ρsin θ－7＝0上任意一点．求点P到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最小值与最大值．
解：圆ρ2＋2ρsin θ－7＝0的直角坐标方程为
x2＋y2＋2y－7＝0，即x2＋(y＋1)2＝8，
直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的直角坐标方程为x＋y－7＝0.
根据题意可设点P(2cos α，2sin α－1)，
则点P到直线x＋y－7＝0的距离
d＝＝，
当sin＝1时，dmin＝＝2；
当sin＝－1时，dmax＝＝6.
10．已知两个圆的极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ.
(1)求两个圆的圆心距；
(2)求经过两圆的交点的直线的极坐标方程．
解：两个圆的直角坐标方程分别是x2＋y2－x＝0，x2＋y2－y＝0.
(1)两个圆的圆心坐标分别是，，所以两圆的圆心距是.
(2)易得经过两圆的交点的直线的直角坐标方程是x－y＝0，故它的极坐标方程是θ＝(ρ∈R)．
B级 能力提升
1．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
解析：因为所以y＝1－x化为极坐标方程为
ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝.
因为0≤x≤1，0≤y≤1，
所以线段在第一象限内(含端点)，所以0≤θ≤.
答案：A
2．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为______________．
解析：因为 ρ＝2sin θ，所以 ρ2＝2ρsin θ，
所以 x2＋y2＝2y，
即x2＋y2－2y＝0.
答案：x2＋y2－2y＝0
3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．
解：曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，
曲线ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1，
联立方程组得
则交点为(0，1)，对应的极坐标为.