课时跟踪检测(六) 反证法
一、选择题
1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至少有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．
2．用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析：选D 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．
3．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容应是( )
A.＝成立
B.＜成立
C.＝或＜成立
D.＝且＜成立
解析：选C “大于”的否定为“小于或等于”．
4.“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
(1)所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
(2)所以∠B<90°；
(3)假设∠B≥90°；
(4)那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是( )
A．(1)(2)(3)(4) B．(4)(3)(2)(1)
C．(3)(4)(1)(2) D．(3)(4)(2)(1)
解析：选C 根据反证法证题的步骤可知选C.
5．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无穷多个
解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.
二、填空题
6．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为________________．
解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.
答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.
答案：③①②
8．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．
解析：假设AC，BD共面，均在平面α内，
即AC⊂α，BD⊂α，则A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，
∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB，CD异面矛盾，
∴AC，BD异面．
答案：异面
三、解答题
9．已知x，y>0，且x＋y>2.求证：，中至少有一个小于2.
证明：假设，都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x>0，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x，
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，与已知x＋y>2矛盾，
∴，中至少有一个小于2.
10．已知f(x)＝ax＋(a＞1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．
证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，
则x0＜0且x0≠－1且ax0＝－，
由0＜ax0＜1⇒0＜－＜1，
解得＜x0＜2，这与x0＜0矛盾，
所以假设不成立，
故方程f(x)＝0没有负数根．