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[学业达标]
一、选择题
1.已知函数y＝f(x)的图象如图3－1－6，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
图3－1－6
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)
D．不能确定
【解析】 f′(A)与f′(B)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(A)
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
【解析】 f′(x0)＝0，说明曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以与x轴平行或重合．
【答案】 B
3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C. D.
【解析】 ∵y＝x2，
∴k＝y′＝ ＝
＝ (2x＋Δx)＝2x，
∴2x＝tan＝1，
∴x＝，则y＝.
【答案】 D
4．若曲线y＝x2上的点P处的切线与直线y＝－x＋1垂直，则过点P处的切线方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
【解析】 与直线y＝－x＋1垂直的直线的斜率为k＝2.
由y＝x2知，y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0＝2，即x0＝1，故y0＝1.
所以过P(1,1)且与直线y＝－x＋1垂直的直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
【答案】 A
5．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D.
【解析】 设点P的坐标为(x0，y0)，
则k＝f′(x0)＝
＝
＝[(Δx)2＋3x＋3x0·Δx]＝3x.
∵k＝3，∴3x＝3.
∴x0＝1或x0＝－1，
∴y0＝1或y0＝－1.
∴点P的坐标为(－1，－1)或(1,1)．
【答案】 B
二、填空题
6．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于________．
【解析】 因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
【答案】 3
7．若抛物线y＝2x2＋1与直线4x－y＋m＝0相切，则m＝________. 【导学号：26160074】
【解析】 设切点P(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0，即f′(x0)＝4x0.y′|x＝x0＝4x0，
由⇒
即P(1,3)．
又P(1,3)在直线4x－y＋m＝0上，
故4×1－3＋m＝0，∴m＝－1.
【答案】 －1
8．若函数y＝f(x)的图象在点P(4，f(4))处的切线方程是y＝－2x＋9，则f(4)＋f′(4)＝________.
【解析】 由导数的几何意义知，f′(4)＝－2，又点P在切线上，则f(4)＝－2×4＋9＝1，故f(4)＋f′(4)＝－1.
【答案】 －1
三、解答题
9．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
【解】 曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率
k＝y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋2)＝2.
∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，
由点斜式得y－2＝2(x＋1)，
即2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
10．已知曲线y＝2x2－7，求：
(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(2)过点P(3,9)与曲线相切的切线方程．
【解】 y′＝
＝ ＝ (4x＋2Δx)＝4x.
(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，
∴切点坐标为(1，－5)．
(2)由于点P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．
将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，
得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．
从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.
[能力提升]
1．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【解析】 令x→0，则2x→0，所以 ＝ ＝f′(1)＝－1，故过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为－1.
【答案】 B
2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图3－1－7所示，则该函数的图象是( )
图3－1－7
【解析】 由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．
【答案】 B
3．如图3－1－8是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝________.
图3－1－8
【解析】 由题图可知切线方程为y＝－x＋，
所以f(2)＝，f′(2)＝－，
所以f(2)＋f′(2)＝.
【答案】
4．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 【导学号：26160075】
【解】 由＝＝2x＋Δx，
得y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，
由点斜式得所求切线方程为：
y－y0＝2x0(x－x0)．
又因为切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，
所以a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，
即x－2x0＋a－1＝0.
因为切线有两条，
所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，且a的取值范围是(－∞，2)．