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课时提升作业(四)
演绎推理
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2015·福州高二检测)有一段演绎推理是这样的“任何实数的平方都大于0，因为a∈R，所以a2>0”，结论显然是错误的，是因为( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.非以上错误
【解析】选A.任何实数的平方大于0，
因为a是实数，所以a2>0.
大前提：任何实数的平方大于0是不正确的.
2.在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是( )
A.三角形的中位线平行于第三边
B.三角形的中位线等于第三边长的一半
C.E，F为AB，AC的中点
D.EF∥BC
【解析】选A.本题的推理形式是三段论，其大前提是一个一般的结论，即三角形中位线定理.
【补偿训练】已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3，4，5，所以△ABC是直角三角形”.若将其恢复成完整的“三段论”，则大前提是 .
【解析】根据已知的推理，可知32+42=52，满足直角三角形的三条边的性质，故大前提是一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形.
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
【拓展延伸】用三段论写推理过程的关注点
(1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系.
(2)有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略.在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
3.(2015·登封高二检测)下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立.因为f(x)=x3在(-1，1)内可导且单调递增，所以在(-1，1)内，f′(x)=3x2>0恒成立.以上推理中( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.结论正确 D.推理形式错误
【解析】选A.因为对于可导函数f(x)，f(x)在区间(a，b)上是增函数，f′(x)>0对x∈(a，b)恒成立，应该是f′(x)≥0对x∈(a，b)恒成立，所以大前提错误.
4.(2015·厦门高二检测)已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确.
5.“1
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】先将不等式分离参数，然后转化为最值问题求解.
【解析】选A.当“对任意的正数x，都有2x+≥1”成立时，a≥x-2x2对x∈R+恒成立，
而x-2x2=-2+≤，
所以a≥.
因为(1，2)∈，
所以1
6.以下推理过程省略的大前提为： .
因为a2+b2≥2ab，
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab.
【解析】由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2+b2，故大前提为：若a≥b，则a+c≥b+c.
答案：若a≥b，则a+c≥b+c
【补偿训练】“π是无限不循环小数，所以π是无理数”以上推理的大前提是
( )
A.实数分为有理数和无理数
B.π不是有理数
C.无理数都是无限不循环小数
D.有理数都是有限循环小数
【解析】选C.用三段论推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据.因为无理数都是无限不循环小数，π是无限不循环小数，所以π是无理数，故大前提是无理数都是无限不循环小数.
7.(2015·长春高二检测)已知sinα=，cosα=，其中α为第二象限角，则m的值为 .
【解题指南】利用sin2α+cos2α=1结合α为第二象限角解决.
【解析】由sin2α+cos2α=+==1得m(m-8)=0，所以m=0或m=8.又α为第二象限角，
所以sinα>0，cosα<0.所以m=8(m=0舍去).
答案：8
【补偿训练】已知函数f(x)=a-，若f(x)为奇函数，则a= .
【解析】因为奇函数f(x)在x=0处有定义且f(0)=0(大前提)，而奇函数f(x)=a-的定义域为R(小前提)，所以f(0)=a-=0(结论).
解得a=.
答案：
8.不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 .
【解题指南】应用演绎推理结合一元二次不等式知识解决.
【解析】不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立，
即(a+2)x2+4x+a-1>0对一切x∈R恒成立.
(1)若a+2=0，显然不成立.
(2)若a+2≠0，则所以a>2.
答案：(2，+∞)
【补偿训练】(2015·郑州高二检测)在R上定义运算⊗：x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立，则( )
A.-1
所以(x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a)，
即原不等式等价于
(x-a)(1-x-a)<1即x2-x-(a2-a-1)>0.
所以Δ=1+4(a2-a-1)<0即4a2-4a-3<0.
解得-
9.因为中国的大学分布在全国各地，…大前提
北京大学是中国的大学，…小前提
所以北京大学分布在全国各地.…结论
(1)上面的推理形式正确吗？为什么？
(2)推理的结论正确吗？为什么？
【解析】(1)推理形式错误.大前提中的M是“中国的大学”它表示中国的所有大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误.
(2)由于推理形式错误，故推理的结论错误.
10.已知函数f(x)=ax+(a>1)，证明：函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数.
【证明】任取x1，x2∈(-1，+∞)，
且x1
=-+-
=(-1)+
=(-1)+.
因为x2-x1>0，且a>1，所以>1.
而-1
所以f(x2)-f(x1)>0，
所以f(x)在(-1，+∞)上为增函数.
【一题多解】f(x)=ax+=ax+1-.
所以f′(x)=axlna+.
因为x>-1，所以(x+1)2>0，所以>0.
又因为a>1，所以lna>0，ax>0，
所以axlna>0，所以f′(x)>0，
于是f(x)=ax+在(-1，+∞)上是增函数.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f′(0)=0，所以x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.结论正确
【解题指南】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不难得到结论.
【解析】选A.因为大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，且满足当x>x0时和当x
A.推理完全正确 B.大前提不正确
C.小前提不正确 D.推理形式不正确
【解析】选C.y=tanx，x∈只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，所以小前提错误，导致整个推理结论错误.
2.函数y=xcosx-sinx在下列哪个区间内是增函数( )
A. B.(π， 2π)
C. D.(2π，3π)
【解析】选B.令y′=x′cosx+x(-sinx)-cosx=-xsinx>0，
由选项知x>0，所以sinx<0，选项B符合条件.
【延伸探究】本题条件不变，求函数y=xcosx-sinx在上的最值.
【解析】由原题解法可知，函数y=xcosx-sinx在上单调递增，故当x=π时取得最小值，当x=2π时取得最大值.所以ymin=πcosπ-sinπ=-π，
ymax=2πcos2π-sin2π=2π.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.关于函数f(x)=lg(x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②当x>0时，f(x)为增函数；
③f(x)的最小值是lg2；
④当-1
⑤f(x)无最大值，也无最小值.
其中正确结论的序号是 .
【解析】易知f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确.当x>0时，f(x)=lg=lg(x+).因为g(x)=x+在(0，1)上是减函数，在(1，
+∞)上是增函数，所以f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，+∞)上是增函数，故②不正确，而f(x)有最小值lg2，故③正确，④也正确，⑤不正确.
答案：①③④
4.如果一个正方形的四个点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为4的锐角△ABC的内接正方形面积的最大值为 .
【解析】如图，作AN⊥BC于点N交GF于点M，设AN=h，BC=a，
因为四边形GDEF是正方形，
所以GF=GD=MN，GF∥BC，
所以△AGF∽△ABC，
所以=.
设正方形的边长为x.
所以=，
解得x=.
由于三角形的面积为4，所以ah=8，
所以x==≤=，
当且仅当a=h时取等号.
所以△ABC的内接正方形面积的最大值为()2=2.
答案：2
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.已知y=f(x)在(0，+∞)上有意义、单调递增且满足f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求证：f(x2)=2f(x).
(2)求f(1)的值.
(3)若f(x)+f(x+3)≤2，求x的取值范围.
【解析】(1)证明：因为f(xy)=f(x)+f(y)，(大前提)
所以f(x2)=f(x·x)
=f(x)+f(x)=2f(x).(结论)
(2)因为f(1)=f(12)=2f(1)，(小前提)
所以f(1)=0.(结论)
(3)因为f(x)+f(x+3)=f(x(x+3))≤2
=2f(2)=f(4)，(小前提)
且函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，(大前提)
所以解得0
(1)求a1，a2，a3，a4的值并猜想an的表达式.
(2)若猜想的结论正确，用三段论证明数列{an}是等比数列.
【解析】(1)因为an=3-2Sn，
所以a1=3-2S1=3-2a1，解得a1=1，
同理a2=，
a3=，
a4=，
…
猜想an=.
(2)大前提：数列{an}，若=q，q是非零常数，则数列{an}是等比数列.
小前提：由an=，又=，
结论：数列{an}是等比数列.
【拓展延伸】演绎推理的实质及分类
(1)实质：“特殊性存在于一般性之中”这个哲学原理道出了演绎推理的实质；演绎推理实际上就是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论.
(2)一个数学问题使用演绎推理时，表现的三种情况.
①显性三段论：在证明过程中，可以较清楚地看出“大前提”“小前提”“结论”；结合演绎推理我们可以知道结果是正确的，也是演绎推理最为简单的应用.
②隐性三段论：三段论在证明或推理过程中，不一定都是清晰的；特别是大前提，有一些是我们早已熟悉的定理、性质、定义，对这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用，不需要再重新指出；因此，就会出现隐性三段论.
③复式三段论：一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓的复式三段论.可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程，基本上都是复式三段论.
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