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[学业达标]
一、选择题
1．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的表述方法的是( )
A．有一个x∈R，使得x2＞3
B．对有些x∈R，使得x2＞3
C．任选一个x∈R，使得x2＞3
D．至少有一个x∈R，使得x2＞3
【答案】 C
2．下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2＞0
C．任意无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
【解析】 只有A，C两个选项中的命题是全称命题，且A显然为真命题．因为是无理数，而()2＝2不是无理数，所以C为假命题．
【答案】 A
3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是( )
A．四个命题都是真命题
B．①②是全称命题
C．②③是特称命题
D．四个命题中有两个是假命题
【答案】 C
4．(2014·湖南高考)设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则¬p为( )
A．∃x0∈R，x＋1>0 B．∃x0∈R，x＋1≤0
C．∃x0∈R，x＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0
【解析】 根据全称命题的否定为特称命题知B正确．
【答案】 B
5．下列四个命题：
p1：∃x∈(0，＋∞)，x＜x；
p2：∃x∈(0,1)，x＞x；
p3：∀x∈(0，＋∞)，x＞x；
p4：∀x∈，x＜x.
其中的真命题是( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
【解析】 取x＝，
则x＝1，x＝log32＜1，p2正确．
当x∈时，x＜1，而x＞1，p4正确．
【答案】 D
二、填空题
6．(2016·大同二诊)已知命题p：“∃x0∈R，sin x0>1”，则¬p为________．
【解析】 根据特称命题的否定为全称命题，并结合不等式符号的变化即可得出¬p为∀x∈R，sin x≤1.
【答案】 ∀x∈R，sin x≤1
7．若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．
【解析】 由题意知，0
∴1
8．若“∃x0∈R，x＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值范围是________. 【导学号：26160023】
【解析】 由于“∃x0∈R，x＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值集合就是二次函数f(x)＝x2＋2x＋2的值域，即{m|m≥1}．
【答案】 [1，＋∞)
三、解答题
9．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)有一个实数α，使sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)对于任意的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解；
(4)存在实数x0，使得x0≤0.
【解】 (1)是一个特称命题，用符号表示为：∃α∈R，使sin2α＋cos2α≠1，假命题．
(2)是一个全称命题，用符号表示为：∀直线l，l都存在斜率，假命题．
(3)是一个全称命题，用符号表示为：∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解，假命题．
(4)是一个特称命题，用符号表示为：∃x0∈R，使得x0≤0，真命题．
10．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
【解】 (1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是特称命题且为真命题．
命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．
[能力提升]
1．(2015·浙江高考)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n
B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n
C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0
【解析】 写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．
【答案】 D
2．(2015·合肥二模)已知命题p：∀x∈R,2x<3x，命题q：∃x0∈R，x＝1－x，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(¬q)
C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q)
【解析】 对于命题p，当x＝0时，20＝30＝1，所以命题p为假命题，¬p为真命题；对于命题q，作出函数y＝x3与y＝1－x2的图象，可知它们在(0,1)上有一个交点，所以命题q为真命题，所以(¬p)∧q为真命题，故选C.
【答案】 C
3．(2016·西城期末)已知命题p：∃x0∈R，ax＋x0＋≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 因为命题p是假命题，所以¬p为真命题，即∀x∈R，ax2＋x＋>0恒成立．当a＝0时，x>－，不满足题意；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有
即解得所以a>，即实数a的取值范围是.
【答案】
4．(2016·日照高二检测)已知p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围.
【导学号：26160024】
【解】 2x>m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m<0.
若p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)为真，
则mx2－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立．
当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立；
当m≠0时，有m<0，Δ＝4－4m2<0，所以m<－1.
若q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0为真，
则方程x＋2x0－m－1＝0有实根，
所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.
又p∧q为真，故p，q均为真命题．
所以m<－1且m≥－2，所以－2≤m<－1.