高中数学（人教版必修2）配套练习 第二章2.3.2

2.3.2　平面与平面垂直的判定
一、基础过关
1．过两点与一个已知平面垂直的平面 (　　)
A．有且只有一个 B．有无数个
C．一个或无数个 D．可能不存在
2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是 (　　)
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面经过另一个平面的一条垂线
C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的
3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是 (　　)
①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；
②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是 (　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
6．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.
8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．
二、能力提升
9．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的余弦值为 (　　)
A. B. C. D.
10．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是 (　　)
A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE
C．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC
11．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
12．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
三、探究与拓展
13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，PA＝PB＝PC＝，AC＝2，AB＝，BC＝.
(1)求证：PD⊥平面ABC；
(2)求二面角P—AB—C的正切值．
答案
1．C　2.D　3.B　4.B　
5．45° 6．5
7．证明　因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.
又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.
在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，
所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.
又GF⊂平面EFG，
所以平面EFG⊥平面PDC.
8．(1)证明　如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，
△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，
BE⊂平面ABCD，
所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE⊂平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解　由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，则∠PBA＝60°.
故二面角A—BE—P的大小是60°.
9．B 10．C　
11．证明　(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.
因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.
所以EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
12．(1)证明　∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.
又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.
(2)解　∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.
又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
13．(1)证明　连接BD，
∵D是AC的中点，PA＝PC＝，
∴PD⊥AC.
∵AC＝2，AB＝，BC＝，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC.
∴BD＝AC＝＝AD.
∵PD2＝PA2－AD2＝3，PB＝，
∴PD2＋BD2＝PB2.∴PD⊥BD.
∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面ABC.
(2)解　取AB的中点E，连接DE、PE，由E为AB的中点知DE∥BC，
∵AB⊥BC，∴AB⊥DE.
∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB.
又AB⊥DE，DE∩PD＝D，∴AB⊥平面PDE，∴PE⊥AB.
∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角．
在△PED中，DE＝BC＝，PD＝，∠PDE＝90°，
∴tan∠PED＝＝.
∴二面角P—AB—C的正切值为.