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专题强化训练(四)
函数的应用
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2015·衡水高一检测)函数f(x)=2x+7的零点为 ( )
A.7 B. C.- D.-7
【解析】选C.令2x+7=0得,x=-.
【补偿训练】函数f(x)=x3-16x的零点为 ( )
A.(0,0) B.0,4
C.(-4,0),(0,0),(4,0) D.-4,0,4
【解析】选D.由f(x)=x3-16x=x(x+4)(x-4)=0,
解得零点为-4,0,4.
2.偶函数f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且f(0)·f(a)<0,则方程f(x)=0在区间[-a,a]内根的个数是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】选B.由二分法和函数的单调性可知:函数在区间[0,a]上有且只有一个零点,设为x0,
因为函数是偶函数,
所以f(-x0)=f(x0)=0,
故其在对称区间[-a,0]上也有唯一零点,
即函数在区间[-a,a]上存在两个零点.
3.为了改善某地的生态环境,政府决心绿化荒山,计划第一年先植树0.5万亩,以后每年比上年增加1万亩,结果第x年植树亩数y(万亩)是时间x(年数)的一次函数,这个函数的图象是 ( )
【解析】选A.当x=1时,y=0.5,且为递增函数.
【补偿训练】等腰三角形的周长是20,底边长y是一腰长x的函数,则y等于
( )
A.20-2x(0
所以y=20-2x,
由得
所以5
A.(0,1) B.(0,2)
C.(1,2) D.(-1,1)
【解析】选B.x-=0的解为x=1或x=-1.
5.某方程在区间D=(2,4)内有一无理根,若用二分法求此根的近似值,且使所得近似值的精确度为0.1,则应将D至少等分 ( )
A.2次 B.3次 C.4次 D.5次
【解析】选D.等分1次,区间长度为1,等分2次,区间长度为0.5,…,等分4次,区间长度为0.125,等分5次,区间长度为0.0625<0.1.
6.方程|x2-2|=lgx的实数根的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解题指南】本题关键是将方程的根的个数转化为两个函数图象交点的个数.
【解析】选B.作出函数y=|x2-2|与y=lgx的图象如图所示,由图可见两个函数的图象有两个公共点,所以方程|x2-2|=lgx有两个实数根.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2015·承德高一检测)设函数y=f(x)的图象在[a,b]上连续,若满足 ,方程f(x)=0在[a,b]上有实根.
【解析】由根的存在性定理可得f(a)f(b)<0.
答案:f(a)f(b)<0
8.马先生于两年前购买了一部手机,现在这款手机的价格已降为1000元,设这种手机每年降价20%,那么两年前这部手机的价格为 .
【解析】设这部手机两年前的价格为a元,则有a(1-0.2)2=1000,解得a=1562.5.
答案:1562.5元
9.若函数f(x)=mx2-x-2只有一个零点,则实数m的值为 .
【解析】当m=0时,f(x)=-x-2有唯一零点-2.
当m≠0时,f(x)=mx2-x-2有一个零点.
则方程mx2-x-2=0有两个相等的实根,
故Δ=(-1)2-4×m×(-2)=0,解得m=-.
综上知m=0或-.
答案:0或-
【误区警示】本题易忽视对m是否为零的讨论,而直接认为Δ=0,导致漏解.
【补偿训练】函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1的一个零点在原点,则m的值为 .
【解析】f(0)=2m-1=0得m=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.某投资公司投资甲乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元),它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式:M=,N=t,今该公司将3亿元投资这两个项目,若设甲项目投资x亿元,投资这两个项目所获得的总利润为y亿元.
(1)写出y关于x的函数表达式.
(2)求总利润y的最大值.
【解析】(1)y=+(3-x),x∈[0,3].
(2)令u=,则u∈[0,],
y=u+(3-u2)=-u2+u+
=-(u-1)2+,
所以当u=1即x=1时,ymax=.
11.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.
(1)判断命题:“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.
(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,求实数a的范围.
【解析】(1)“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”是真命题.
依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,
因为Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R恒成立,
即x2+(2a-1)x-2a=0必有实根,从而f(x)=1必有实根.
(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,
只须即
解得:
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