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课时提升作业(十一)
椭圆方程及性质的应用
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.已知直线l过点(3，-1)，且椭圆C：+=1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为 ( )
A.1 B.1或2 C.2 D.0
【解析】选C.因为直线过定点(3，-1)且+<1，所以点(3，-1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.
2.点A(a，1)在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是 ( )
A.-
C.-2
已知平面内点P(x0，y0)与椭圆+=1(a>b>0)，则
①点P在椭圆外⇔+>1；
②点P在椭圆上⇔+=1；
③点P在椭圆内⇔+<1.
3.(2015·马鞍山高二检测)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率e= ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.设椭圆C的焦距为2c(c
所以=c，
因为b2=a2-c2，所以3a4-7a2c2+2c4=0，
解得a2=2c2或3a2=c2(舍)，所以e=.
【补偿训练】椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.PQ为过F1且垂直于x轴的弦，
则Q(-c，)，△PF2Q的周长为36.
所以4a=36，a=9.
由已知=5，即=5.
又a=9，解得c=6，
解得=，即e=.
4.(2015·石家庄高二检测)若AB是过椭圆+=1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM= ( )
A.- B.- C.- D.-
【解析】选B.设A(x1，y1)，M(x0，y0)，
则B(-x1，-y1)，
kAM·kBM=·=
==-.
【一题多解】(特殊值法)：因为四个选项为定值，取A(a，0)，B(-a，0)，
M(0，b)，可得kAM·kBM=-.
【补偿训练】(2015·衡水高二检测)如果AB是椭圆+=1(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为 ( )
A.e-1 B.1-e C.e2-1 D.1-e2
【解析】选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，
则+=1，+=1，两式作差得
=
所以kAB·kOM=·===e2-1.
5.AB为过椭圆+=1(a>b>0)中心的弦，F1(c，0)为椭圆的右焦点，则△AF1B面积的最大值是 ( )
A.b2 B.ab C.ac D.bc
【解析】选D.如图，=+=2.
又因为|OF1|=c为定值，
所以点A与(0，b)重合时，OF1边上的高最大，
此时的面积最大为bc.
所以的最大值为bc.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________.
【解析】将椭圆与直线方程联立：
解得交点A(0，-2)，B.设右焦点为F，
则S△OAB=·|OF|·|y1-y2|=×1×|+2|
=.
答案：
7.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M，N两点，原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则的值是________.
【解析】由消去y，
得(m+n)x2-2nx+n-1=0.
则MN的中点P的坐标为.
所以kOP==.
答案：
8.(2015·宁波高二检测)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.
【解析】由·=0，得以F1F2为直径的圆在椭圆内，于是b>c，于是a2-c2>c2，所以0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.已知动点M(x，y)到直线l：x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍.
(1)求动点M的轨迹C的方程.
(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点.若A是PB的中点，求直线m的斜率.
【解题指南】由动点M的坐标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k与x1，x2的关系式，利用中点坐标即可得斜率.
【解析】(1)点M(x，y)到直线x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍，则|x-4|=2⇒+=1.
所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为+=1.
(2)P(0，3)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知：2x1=0+x2，2y1=3+y2，椭圆的上下顶点坐标分别是(0，)和(0，-)，经检验直线m不经过这两点，即直线m斜率k存在.设直线m的方程为：y=kx+3.联立椭圆和直线方程，整理得：
(3+4k2)x2+24kx+24=0⇒x1+x2=，x1·x2=，+=+2⇒=⇒=⇒k=±，
所以直线m的斜率k=±.
10.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程.
(2)当△AMN的面积为时，求k的值.
【解析】(1)由题意得解得b=.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由
得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
Δ=24k2+16>0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，x1+x2=，
x1x2=，
所以|MN|=
=
=.
又因为点A(2，0)到直线y=k(x-1)的距离d=，
所以△AMN的面积为|MN|·d=.
由=，解得k=±1.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.已知椭圆C的方程为+=1(m>0)，如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为 ( )
A.2 B.2 C.8 D.2
【解析】选B.根据已知条件c=，则点在椭圆+=1(m>0)上，
所以+=1，可得m=2.
2.(2015·福建高考)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点.若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.不妨设左焦点为F2，连接AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分，所以四边形AFBF2为平行四边形，所以+=+=2a=4，所以a=2，设M(0，b)，所以d=b≥⇒b≥1，
所以e==≤=，又e∈(0，1)，所以e∈.
【补偿训练】过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦MN的长为
( )
A. B. C. D.
【解题指南】求出过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程，代入椭圆+y2=1，可得一元二次方程，利用弦长公式，即可求弦MN的长.
【解析】选A.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
因为椭圆+y2=1右焦点坐标为(，0)，
所以过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程为y=x-，
代入椭圆+y2=1，可得+(x-)2=1，即5x2-8x+8=0，所以x1+x2=，x1x2=，
所以|MN|=·
=·=.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·济南高二检测)已知对k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是________.
【解析】因为直线y-kx-1=0过定点(0，1)，
要使直线和椭圆恒有公共点，
则点(0，1)在椭圆上或椭圆内，即+≤1，
整理，得≤1，解得m≥1.
又方程+=1表示椭圆，所以m>0且m≠5，
综上m的取值范围为m≥1且m≠5.
答案：m≥1且m≠5
4.(2015·无锡高二检测)若倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________.
【解析】设中点坐标为(x，y)，直线方程为y=x+b，代入椭圆方程得5x2+8bx+4(b2-1)=0，由根与系数的关系及中点的定义，可得x+4y=0，
由Δ>0，得-
A.9x-y-4=0 B.9x+y-5=0
C.2x+y-2=0 D.2x-y+2=0
【解析】选B.椭圆：+x2=1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则+=1 (1)
+=1 (2)
由(1)(2)相减得：
+(x1+x2)(x1-x2)=0，点P是AB的中点，所以x1+x2=1，y1+y2=1，
由题知x1≠x2，所以=-9，
则直线AB的方程y-=-9，
整理得9x+y-5=0.
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程.
(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.
【解析】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，
由已知得
因为P在圆上，所以x2+=25，
即C的方程为+=1.
(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y=(x-3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y=(x-3)代入C的方程，
得+=1，即x2-3x-8=0.
Δ=(-3)2+32=41>0
所以x1+x2=3，x1x2=-8.
所以线段AB的长度为
|AB|=
=
===.
6.(2014·陕西高考)已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0).
(1)求椭圆的方程.
(2)若直线l：y=-x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足=，求直线l的方程.
【解题指南】(1)先由已知得椭圆短半轴长，再由离心率及a，b，c间的关系，列方程组得解.(2)先利用直线与圆相交求得弦CD的长，再利用椭圆与直线相交得AB的长，通过解方程得m值从而得解.
【解析】(1)由题设知
解得a=2，b=，c=1，
所以椭圆的方程为+=1.
(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1，
所以圆心到直线的距离d=.
由d<1得|m|<. (*)
所以|CD|=2=2=.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2-mx+m2-3=0，
由根与系数的关系可得x1+x2=m，x1x2=m2-3.
所以|AB|=
=.
由=得=1，解得m=±，满足(*)，
所以直线l的方程为y=-x+或y=-x-.
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