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综合质量评估
(第一至第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2015·大庆高一检测)设集合U=,集合M=,N=,则M∩(N)等于 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.因为N=,M=,所以M∩(N)=.
【补偿训练】设全集U={x|x<6且x∈N*},集合A={1,3},B={3,5},则(A∪B)
= ( )
A.{1,4} B.{1,5} C.{2,4} D.{2,5}
【解析】选C.由题意知U={1,2,3,4,5},
又A∪B={1,3,5},所以(A∪B)={2,4}.
2.(2015·淮南高一检测)函数y=的定义域为 ( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(1,2)∪(2,+∞) D.(1,2)∪[3,+∞)
【解析】选C.要使函数y=有意义,必须解得,故函数的定义域为(1,2)∪(2,+∞).
【补偿训练】函数y=+的定义域是 ( )
A.[-1,2) B.[-1,2)∪(2,+∞)
C.(2,+∞) D.[-1,+∞)
【解析】选B.要使函数y=+有意义,必须,解得x≥-1且x≠2,故函数的定义域为[-1,2)∪(2,+∞).
3.下列图形中,不是函数图象的是 ( )
【解析】选B.由函数的定义可知:选项B中存在给定某一实数,有两个值与之对应.
【补偿训练】下列各组函数是同一函数的是 ( )
A.y=与y=1
B.y=|x-1|与y=
C.y=|x|+|x-1|与y=2x-1
D.y=与y=x
【解析】选D.A定义域不同,故不是同一函数.
B定义域不同,故不是同一函数.
C对应法则不同,故不是同一函数.
D定义域与对应法则均相同,所以是同一函数.
4.下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是 ( )
A.y= B.y=3x
C.y=lg|x| D.y=x3
【解析】选D.选项A中函数的定义域为x≥0,故不具备奇偶性;选项B是增函数但不是奇函数;选项C是偶函数;而选项D在R上是奇函数并且单调递增.
5.已知函数f(x)=,则有 ( )
A.f(x)是奇函数,且f=-f(x)
B.f(x)是奇函数,且f=f(x)
C.f(x)是偶函数,且f=-f(x)
D.f(x)是偶函数,且f=f(x)
【解析】选C.因为f(x)=,{x|x≠±1},
所以f===
=-=-f(x),
又因为f(-x)===f(x),
所以f(x)为偶函数.
【误区警示】解答本题在推导f与f(x)的关系时容易出现分式变形或符号变换错误.
6.(2015·绍兴高一检测)函数f(x)=若f(x)=2,则x的值是
( )
A. B.± C.0或1 D.
【解析】选A.当x+2=2时,解得x=0,不满足x≤-1;当x2=2时,解得x=±,只有x=时才符合-1
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>b>c D.c>b>a
【解析】选A.由于a=log20.3
A.c
【解析】选A.函数y=lo|x|的图象如图(1),
把y=lo|x|的图象向左平移2个单位得到y=lo|x+2|的图象如图(2),
由图象可知函数y=lo|x+2|在(-2,+∞)上是减函数,
因为lo3=-log23<-log22=-1,
0<<=1,
ln3>lne=1.
所以-2
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
【解析】选C.利用根的存在性定理进行判断,由于f(2)=2+2-5=-1,f(3)=4+3-5=2,所以f(2)·f(3)<0,又f(x)为单调递增函数,所以函数f(x)=2x-1+x-5的零点所在的区间为(2,3).
【补偿训练】函数f(x)=lnx+x3-9的零点所在的区间为 ( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
【解析】选C.由题意知x>0,且f(x)在其定义域内为增函数,
f(1)=ln1+13-9=-8<0,
f(2)=ln2+23-9=ln2-1<0,
f(3)=ln3+33-9=ln3+18>0,
f(4)=ln4+43-9>0,
所以f(2)f(3)<0,说明函数在区间(2,3)内有零点.
9.某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是 ( )
A.y=100 B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x D.y=100log2x+100
【解析】选C.对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大.对于B中的函数,当x=4时误差也较大.对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小.对于D中的函数,当x=4时,据函数式得到的结果为300,与实际值790相差很远.综上,只有C中的函数误差最小.
10.(2015·临川高一检测)已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则a的范围是( )
A. B.(0,1)
C. D.(0,3)
【解析】选A.由于x1≠x2,都有<0成立,即函数在定义域内任意两点的连线的斜率都小于零,故函数在定义域内为减函数,所以有解得0
A.3- B.3+
C.2- D.2+
【解析】选B.由题意知m>5,所以f(x)=logm(m-x)在[3,5]上为减函数,所以logm(m-3)-logm(m-5)=1,
logm=1,即=m,m2-6m+3=0,
解得m=3+或m=3-(舍去).
所以m=3+.
11.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(1+x),则当x<0时,f(x)的表达式是 ( )
A.f(x)=(1-x) B.f(x)=-(1-x)
C.f(x)=(1+x) D.f(x)=-(1+x)
【解题指南】当x<0时,-x>0,由题意可知f(-x),再利用f(-x)=-f(x),可求f(x).
【解析】选A.设x<0,则-x>0,
f(-x)=(1-x)=-(1-x),
又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以-f(x)=-(1-x),所以f(x)=(1-x).
12.(2015·鄂州高一检测)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么解析式为y=2x2-1,值域为{1,7}的所有“孪生函数”的个数等于 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选D.当y=2x2-1=1时,解得x=±1,当y=2x2-1=7时,解得x=±2,由题意可知是“孪生函数”的函数的定义域应为,,,,
,,,,共9个.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2015·温州高一检测)函数y=ax-1+1a>0,且a≠1一定过定点 .
【解析】当x-1=0时,y=ax-1+1=a0+1=2,由此解得x=1,即函数恒过定点(1,2).
答案:(1,2)
14.= .
【解析】===1.
答案:1
15.(2015·常德高一检测)如果函数f(x)=x2-ax+1仅有一个零点,则实数a的值是 .
【解析】由于函数f(x)=x2-ax+1仅有一个零点,即方程x2-ax+1=0仅有一个根,故Δ=a2-4=0,解得a=±2.
答案:±2
【延伸探究】若将函数改为f(x)=x2+ax-4在(0,1)内只有一个零点,则实数a的取值范围是 .
【解析】由于函数f(x)=x2+ax-4在(0,1)内只有一个零点,且f(0)=-4<0,函数f(x)的图象开口向上,则必有f(1)>0,即1+a-4>0,所以a>3.
答案:a>3
16.对于定义在R上的函数f(x),有如下命题:
①若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数;
②若f(-4)≠f(4),则函数f(x)不是偶函数;
③若f(0)
【解析】例如函数f(x)=x2,f(0)=0,但此函数不是奇函数,故①错误;若函数为偶函数,则在其定义域内的所有的x,都有f(-x)=f(x),若f(-4)≠f(4),则该函数一定不是偶函数,故②正确;对于函数f(x)=x2,f(0)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)化简:÷×(式中字母都是正数).
【解析】原式=÷×
=××
=×a×=a2.
18.(12分)(2015·郑州高一检测)已知集合A=,B=.
(1)分别求,()∪A.
(2)已知C=,若C⊆B,求实数a的取值集合.
【解析】(1)因为A∩B=,
所以=或,
因为=,
所以()∪A=x<6或.
(2)因为C⊆B,所以
解之得3≤a≤8,所以a∈.
19.(12分)(2015·海口高一检测)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).
(1)求定义域.
(2)判断函数的奇偶性.
【解析】(1)由已知得所以可得-1
-f(x).
所以f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)为奇函数.
20.(12分)(2015·梅州高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时f(x)=x2+4x.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)画出函数的大致图象,并求出函数的值域.
【解析】(1)当x>0时,-x<0,因为函数是偶函数,故f(-x)=f(x),
所以f(x)=f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x,
所以f(x)=
(2)图象如图所示:
函数的值域为[-4,+∞).
【补偿训练】(2014·临沂高一检测)已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1),B(5,2).
(1)求函数f(x)的解析式及定义域.
(2)求f(14)÷f的值.
【解析】(1)因为函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1),B(5,2),
所以即
所以
解得
所以f(x)=log3(2x-1),定义域为.
(2)f(14)÷f=log327÷log3=3÷=6.
21.(12分)某公司要将一批不易存放的蔬菜从A地运到B地,有汽车、火车两种运输工具可供选择,两种运输工具的主要参考数据如下表:
运输
工具
途中速度
(km/h)
途中费用
(元/km)
装卸时间
(h)
装卸费用
(元)
汽车
50
8
2
1 000
火车
100
4
4
2 000
若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中损耗为300元/h,设A,B两地距离为xkm.
(1)设采用汽车与火车运输的总费用分别为f(x)与g(x),求f(x)与g(x).
(2)试根据A,B两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好(即运输总费用最小).
(注:总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用)
【解析】(1)由题意可知,用汽车运输的总费用为:
f(x)=8x+1000+·300=14x+1600(x>0),
用火车运输的总费用为:g(x)=4x+2000+·300=7x+3200(x>0).
(2)由f(x)
由f(x)>g(x)得x>.
所以,当A,B两地距离小于km时,采用汽车运输好;
当A,B两地距离等于km时,采用汽车或火车都一样;
当A,B两地距离大于km时,采用火车运输好.
【拓展延伸】选择数学模型分析解决实际问题
(1)特点:信息由表格数据的形式给出,要求对数据进行合理的转化处理,建立数学模型,解答有关的实际问题.
(2)三种常用方法:
①直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解;
②列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较;
③描点观察法:若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决.
22.(12分)(2015·成都高一检测)已知函数f(x)=a+bx(b>0,b≠1)的图象过点(1,4)和点(2,16).
(1)求f(x)的表达式.
(2)解不等式f(x)>.
(3)当x∈(-3,4]时,求函数g(x)=log2f(x)+x2-6的值域.
【解析】(1)由题知
所以或(舍去),
所以f(x)=4x.
(2)因为4x>,
所以22x>,所以2x>x2-3,
所以x2-2x-3<0,所以-1
(3)g(x)=log24x+x2-6=log222x+x2-6
=2x+x2-6=(x+1)2-7,
因为-1∈(-3,4],所以g(x)min=-7,
当x=4时,g(x)max=18,所以值域为[-7,18].
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