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课时提升作业(二)
四种命题
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是 ( )
A.若a+b+c≠3，则a2+b2+c2<3
B.若a+b+c=3，则a2+b2+c2<3
C.若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3
D.若a+b+c≥3，则a2+b2+c2=3
【解析】选A.因为命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”，故选A.
2.下列命题的逆命题为真命题的是 ( )
A.若xy≠0，则x，y不都为零
B.正多边形都相似
C.若m>0，则x2+x-m=0有实根
D.若x是无理数，则x-是有理数
【解析】选D.A中逆命题为“若x，y不都为零，则xy≠0”，假命题；B中逆命题为“相似的多边形都是正多边形”，假命题；C中逆命题为“若x2+x-m=0有实根，则m>0”，假命题；D中逆命题为“若x-是有理数，则x是无理数”，真命题.
3.(2015·长春高二检测)若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的 ( )
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题 D.以上都不正确
【解题指南】设命题p为“若s，则t”的形式，分别写出q，r，再判断q与r条件与结论的关系，从而作出选择.
【解析】选B.设命题p为：“若s，则t”，则命题q为：若t，则s，命题r是：若t，则s，由此知q为r的否命题.
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆命题是
___________________________________________________________，
否命题是___________________________________________________，
逆否命题是__________________________________________________.
【解析】逆命题是：“能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数”.
否命题：“各位数字之和不是3的倍数的正整数不能被3整除”.
逆否命题是：“不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数”.
答案：能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数
各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除
不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数
5.(2015·烟台高二检测)下列命题：
①“等边三角形三内角都为60°”的逆命题；
②“若k>0，则x2+2x-k=0有实根”的逆否命题；
③“全等三角形的面积相等”的否命题；
④“若ab≠0，则a≠0”的否命题；
其中真命题的序号为________.
【解析】①逆命题“三内角都为60°的三角形为等边三角形”，真命题；②逆否命题“若x2+2x-k=0没有实根，则k≤0”，因为Δ=4+4k<0，所以k<-1，满足k≤0，所以是真命题；③否命题“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题；④否命题“若ab=0，则a=0”是假命题，故只有①②是真命题.
答案：①②
【补偿训练】(2015·西安高二检测)对于命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”，下列说法正确的是 ( )
A.它的逆命题是真命题
B.它的否命题是真命题
C.它的逆否命题是假命题
D.它的否命题是假命题
【解析】选D.命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”的逆命题为“若an≠0，则数列{an}是等比数列”为假命题，故A错.否命题为“若数列{an}不是等比数列，则an=0”，显然是假命题，如an=2n(n∈N*)不是等比数列，对应an≠0，故选D.
三、解答题
6.(10分)写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.
(1)在△ABC中，若BC>AC，则∠A>∠B；
(2)相等的两个角的正弦值相等.
【解析】(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC；真命题.
否命题：在△ABC中，若BC≤AC，则∠A≤∠B；真命题.
逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则BC≤AC；真命题.
(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等；假命题.
否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等；假命题.
逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等；真命题.
【补偿训练】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
(1)当m>时，mx2-x+1=0无实根.
(2)当abc=0时，a=0或b=0或c=0.
【解析】(1)逆命题：当mx2-x+1=0无实根时，m>；真命题；
否命题：当m≤时，mx2-x+1=0有实根；真命题；
逆否命题：当mx2-x+1=0有实根时，m≤；真命题.
(2)逆命题：当a=0或b=0或c=0时，abc=0；真命题；
否命题：当abc≠0时，a≠0且b≠0且c≠0；真命题；
逆否命题：当a≠0且b≠0且c≠0时，abc≠0；真命题.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·中山高二检测)下列判断中不正确的是 ( )
A.命题“若A∩B=B，则A∪B=A”的逆否命题为真命题
B.“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题
C.“已知a，b，m∈R，若am2
【解题指南】逐个写出命题，作出判断，从中选取不正确的.
【解析】选C.A中，逆否命题“若A∪B≠A，则A∩B≠B”是真命题，正确；B中，否命题“不是矩形的四边形的两条对角线不相等”是假命题，正确；C中，逆命题“已知a，b，m∈R，若a
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的否命题；
②“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；
③“若x≤3，则x2-x-6>0”的否命题；
④“对顶角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.①的否命题为“若x+y≠0，则x，y不互为相反数”为真命题.
②的逆否命题为“若x2≤y2，则x≤y”为假命题，如x=0，y=-1时，02≤(-1)2，但0>-1.
③该命题的否命题为“若x>3，则x2-x-6≤0”，为假命题；
④该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题.
【拓展延伸】命题的四种形式及其真假的判断
(1)四种形式：写出命题的四种形式，需要确定原命题的条件和结论，交换条件与结论可得到逆命题，否定条件与结论可得到否命题，既交换条件与结论，又否定条件与结论可得到逆否命题.
(2)真假的判断：判断命题的真假时，需要结合命题所含的相关知识点进行推理判断，或用举反例法说明是假命题.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·沈阳高二检测)“若a∉M或a∉P，则a∉(M∩P)”的逆否命题是________________________.
【解析】命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，题中“a∉M或a∉P”的否定是“a∈M且a∈P”.
答案：若a∈(M∩P)，则a∈M且a∈P
【补偿训练】命题“若a·b不为零，则a，b都不为零向量”的逆否命题是____
_________________________.
【解析】逆否命题是“若a，b至少有一个为零向量，
则a·b为零”.
答案：若a，b至少有一个为零向量，则a·b为零
4.命题“当a>0时，函数y=ax+b的值随x的增大而增大”的否命题是__________.
【解析】命题的条件是x增大，结论是函数y=ax+b的值增大，命题的否命题是：当a>0时，若x不增大，则函数y=ax+b的值也不增大.
答案：当a>0时，若x不增大，则函数y=ax+b的值也不增大
【误区警示】原命题有两个条件：“a>0”和“x增大”，其中“a>0”是前提，在写原命题、逆命题、否命题、逆否命题时，把“a>0”置于“若”字的前面，把“x增大”作为原命题的条件，不能把“a>0”和“x增大”都当成条件.
三、解答题
5.(10分)(2015·苏州高二检测)在公比为q的等比数列{an}中，前n项的和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am，am+2，am+1成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题.
(2)判断公比q为何值时，逆命题为真？公比q为何值时，逆命题为假？
【解题指南】解答本题首先需根据逆命题的概念正确写出逆命题，然后根据等差数列和等比数列的性质判断何时为真命题，何时为假命题.
【解析】(1)逆命题：在公比为q的等比数列{an}中，前n项的和为Sn，若am，am+2，am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列.
(2)由{an}为等比数列，所以an≠0，q≠0.
由am，am+2，am+1成等差数列，得2am+2=am+am+1，
所以2am·q2=am+am·q，所以2q2-q-1=0.
解得q=-或q=1.
当q=1时，an=a1(n=1，2，…)，
所以Sm+2=(m+2)a1，Sm=ma1，Sm+1=(m+1)a1，
因为2(m+2)a1≠ma1+(m+1)a1，
即2Sm+2≠Sm+Sm+1，
所以Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列.
即q=1时，原命题的逆命题为假命题.
当q=-时，2Sm+2=2·，
Sm+1=，Sm=，
所以2Sm+2=Sm+1+Sm，
所以Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，
即q=-时，原命题的逆命题为真命题.
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