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课时提升作业(十八)
变化率问题 导数的概念
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.一物体的运动满足函数s=3+2t,则在这段时间内的平均速度是
( )
A.0.41 B.2 C.0.3 D.0.2
【解析】选B.Δs=(3+2×2.1)-(3+2×2)=0.2,
Δt=2.1-2=0.1,所以==2.
2.(2015·宝鸡高二检测)如果函数f(x)=ax+b在区间上的平均变化率为3,则a= ( )
A.-3 B.2 C.3 D.-2
【解析】选C.根据平均变化率的定义,可知==a=3.
3.(2015·西安高二检测)如果质点A的运动满足函数:s(t)=-,则在t=3秒时的瞬时速度为 ( )
A.- B. C.- D.
【解题指南】先求出,再求出t=3秒时的瞬时速度.
【解析】选D.Δs=s(3+Δt)-s(3)=-+=,=,在t=3秒时的瞬时速度为
==.
【补偿训练】已知f(x)=x2-3x,则f ′(0)= ( )
A.Δx-3 B.(Δx)2-3Δx
C.-3 D.0
【解析】选C.f′(0)=
=
=(Δx-3)=-3.
4.质点M的运动规律为s=4t+4t2,则质点M在t=t0时的速度为 ( )
A.4+4t0 B.0
C.8t0+4 D.4t0+4
【解析】选C.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=4Δt2+4Δt+8t0Δt,=4Δt+4+8t0,
=(4Δt+4+8t0)=4+8t0.
5.(2015·南京高二检测)f(x)在x=x0处可导,则 ( )
A.与x0,Δx有关
B.仅与x0有关,而与Δx无关
C.仅与Δx有关,而与x0无关
D.与x0,Δx均无关
【解析】选B.式子表示的意义是求f′(x0),即求f(x)在x0处的导数,它仅与x0有关,与Δx无关.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知函数f(x)=2x-3,则f′(5)=________.
【解析】因为Δy=f(5+Δx)-f(5)
=-(2×5-3)=2Δx,
所以=2,所以f′(5)==2.
答案:2
7.函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率为________.
【解析】因为Δy=-,
所以y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率为==-.
答案:-
8.(2015·广州高二检测)设函数f(x)在x=1处存在导数2,则=________.
【解析】==f′(1)=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.求函数y=x3在x0到x0+Δx之间的平均变化率,并计算当x0=1,Δx=时平均变化率的值.
【解题指南】利用概念求平均变化率,先求出表达式,再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率.
【解析】当自变量从x0变化到x0+Δx时,函数的平均变化率为==3+3x0Δx+(Δx)2.
当x0=1,Δx=时,平均变化率=3×12+3×1×+=.
10.(2015·乌鲁木齐高二检测)求函数f(x)=3x-在x=1处的导数.
【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)=3(1+Δx)--1=2+3Δx-=3Δx+,
==3+,
所以==5,
所以f′(1)=5.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.函数y=x+在x=1处的导数是 ( )
A.2 B. C.1 D.0
【解析】选D.Δy=(Δx+1)+-1-1=Δx+,=1-,
==1-1=0,
所以,函数y=x+在x=1处的导数为0.
2.(2015·厦门高二检测)设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则 ( )
A.f′(x)=a B.f′(x)=b
C.f′(x0)=a D.f′(x0)=b
【解析】选C.因为f′(x0)=
=
=(a+bΔx)=a.
所以f′(x0)=a.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.一个物体的运动满足函数s=2t2+at+1,该物体在t=1的瞬时速度为3,则a=________.
【解析】Δs=2(1+Δt)2+a(1+Δt)+1-(2+a+1)=2Δt2+(4+a)Δt,
由条件知=(2Δt+4+a)=4+a=3,
所以a=-1.
答案:-1
4.(2015·哈尔滨高二检测)f(x)在x=a处可导,
则=________f′(a).
【解题指南】将化简,其方向是依据导数的定义,将其化成符合导数定义的形式.
【解析】
=
=+
=f′(a)+f′(a)=2f′(a).
答案:2
【补偿训练】若f′(x)=A,求的值.
【解析】原式=
=+
=A+2A=3A.
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·聊城高二检测)求函数y=在x=1处的导数.
【解析】Δy=-1,
==,
所以=
=,即函数y=在x=1处的导数为.
6.路灯距地面8m,一个身高1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C沿某直线离开路灯,
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式,
(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率.
【解析】(1)如图所示,设人从C点运动到B处的路程为x m,AB为身影长度,AB的长度为y m.
由于CD∥BE,则=,
即=,所以y=x.
(2)因为84m/min=1.4m/s,而x=1.4t.
所以y=x=×1.4t=t,t∈[0,+∞).
Δy=(10+Δt)-×10=Δt,
所以=.
即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为.
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