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课时提升作业(十一)
函数的最大值、最小值
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)>4,则f(x)的最小值是 ( )
A.4 B.f(4) C.4.001 D.不能确定
【解析】选D.根据函数最小值的概念可知,此函数的最小值不能确定.
【误区警示】对于最小值概念理解不到位而错选A.
2.(2015·银川高一检测)函数f(x)=2-在区间[1,3]上的最大值是 ( )
A.2 B.3 C.-1 D.1
【解析】选D.易判断f(x)在区间[1,3]上是单调递增的,所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)=1.
【补偿训练】函数f(x)=在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是 ( )
A.,1 B.1, C.,1 D.1,
【解析】选B.函数f(x)=在[2,6]上单调递减,当x=2时,f(x)有最大值为1,当x=6时,有最小值为.
3.(2015·昆明高一检测)函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为 ( )
A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对
【解析】选A.函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,所以函数f(x)的最大值为f(2)=10,最小值为f(-1)=6.
【补偿训练】设定义在R上的函数f(x)=x|x|,则f(x) ( )
A.只有最大值
B.只有最小值
C.既有最大值又有最小值
D.既无最大值又无最小值
【解析】选D.f(x)=画出图象可知,函数f(x)既无最大值又无最小值.
4.已知函数f(x)=x2-4x+10,x∈[-1,m],并且f(x)的最小值为f(m),则实数m的取值范围是 ( )
A.(-1,2] B.(-1,+∞)
C.[2,+∞) D.(-∞,-1)
【解题指南】由条件可知f(x)在区间[-1,m]上单调递减,所在区间[-1,m]是f(x)在R上的减区间的子集,据此可求得m的范围.
【解析】选A.函数f(x)=x2-4x+10的对称轴为直线x=2,所以f(x)在(-∞,2]上单调递减,又f(x)在[-1,m]上的最小值是f(m),所以[-1,m]是f(x)的单调减区间,所以-1
A.与 B.与1
C.与 D.与
【解析】选A.因为f(x+2)=,x∈[2,8],易证f(x+2)=在[2,8]上是减少的,所以x=8时,ymin=;x=2时,ymax=,故选A.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数y=f(x)的定义域为[-4,6],且在区间[-4,-2]上递减,在区间(-2,6]上递增,且f(-4)
7.函数f()=x-1的最小值是 .
【解析】设=t,t≥0,所以f(t)=t2-1,t≥0,
所以f(x)=x2-1,x≥0,
因为f(x)=x2-1在[0,+∞)上为增函数,
所以f(x)的最小值为-1.即f()=x-1的最小值是-1.
答案:-1
8.(2015·天津高一检测)若函数y=(k>0)在[2,4]上的最小值为5,则k的值为 .
【解析】因为k>0,所以函数y=在[2,4]上是减函数,所以当x=4时,ymin=,此时=5,所以k=20.
答案:20
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·日照高一检测)求函数f(x)=+x在[2,+∞)上的最小值.
【解析】设2≤x1
=+(x1-x2)
=(x1-x2)<0.
所以f(x1)-f(x2)<0,f(x1)
所以f(x)min=f(2)=+2.
10.(2015·天水高一检测)已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(x)+f(-x)=0.
(2)若f(-3)=a,试用a表示f(24).
(3)如果x>0时,f(x)<0,且f(1)=-,试求f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小值.
【解析】(1)令x=y=0得f(0)=0,
再令y=-x得f(-x)=-f(x),
所以f(x)+f(-x)=0.
(2)因为f(-3)=a则f(3)=-a,
所以f(24)=8f(3)=-8a.
(3)设x∈(-∞,+∞),且x1
又因为x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,
f(x1)+f(x2-x1)
f(x)min=f(6)=6f(1)=6×=-3.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·太原高一检测)若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是 ( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
【解题指南】分a大于0、小于0和等于0分别计算.
【解析】选C.当a=0时,不满足题意;当a>0时,y=ax+1在[1,2]上为增函数,所以2a+1-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,y=ax+1在[1,2]上为减函数,所以a+1-(2a+1)=2,解得a=-2,故a=±2.
2.(2015·宿州高一检测)函数f(x)=的最大值是 ( )
A. B. C. D.
【解题指南】欲求最大值,可转化为求分母的最小值.
【解析】选D.分母1-x(1-x)=x2-x+1=+≥,显然0
3.函数y=|-x2+2x+3|在区间[0,4]上的最大值是 .
【解析】由y=知此函数在[0,3]上的最大值为4,在[3,4]上的最大值为5,所以在[0,4]上的最大值为5.
答案:5
4.(2015·济宁高一检测)定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1,x2,总有>0成立,且f(-3)=a,f(-1)=b,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是 .
【解析】由>0,得f(x)在R上是增函数,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是f(-1)=b.
答案:b
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于80元/件.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示).
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的解析式.
(2)设公司获得的利润为S元(利润=销售总价-成本总价;销售总价=销售单价×销售量,成本总价=成本单价×销售量).
①试用销售单价x表示利润S;
②试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?
【解析】(1)由图象知,当x=60时,y=40;
当x=70时,y=30,
代入y=kx+b中,得解得
所以y=-x+100(50≤x≤80).
(2)①由题意可知:
S=xy-50y=x(-x+100)-50(-x+100)
=-x2+150x-5000
=-(x-75)2+625(50≤x≤80).
②由①知S=-(x-75)2+625(50≤x≤80),当x=75时,利润S取得最大值625,
所以当销售单价为75元/件时,可获得最大利润625元,此时销售量为25件.
6.已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.
(1)求证:f(x)是R上的单调减函数.
(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.
【解析】(1)设x1和x2是任意的两个实数,且x1
所以f(x2-x1)<0,又因为x2=(x2-x1)+x1,
所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)
(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上也是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).
而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×=-2.
所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.
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