3.1.2 空间向量的数乘运算
课时目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．
1．空间向量的数乘运算
(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作________，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向________；当λ<0时，λa与向量a方向________；λa的长度是a的长度的________倍．
(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．
分配律：______________；结合律：______________.
2．共线向量
(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是________________．
(3)
方向向量：如图l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使____________，其中向量a叫做直线l的方向向量．
3．共面向量
(1)共面向量：平行于________________的向量，叫做共面向量．
(2)如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使__________．空间内一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使______________．
对空间任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使________________．
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
A.＋＝ B.－＝
C.＝ D.||＝||
3.如图，空间四边形OABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，则=x＋y＋z，则( )
A．x＝，y＝，z＝
B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝
D．x＝，y＝，z＝
4．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是( )
A.＝2－－
B.＝＋＋
C.＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
5.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量B．等长向量
C．共面向量D．不共面向量
6．下列命题中是真命题的是( )
A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量,，满足||>||，且与同向，则>
D.若两个非零向量与满足＋＝0，则∥
二、填空题
7.在空间四边形ABCD中，连结AC、BD,若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为________．
8.在正四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用a，b，c表示)．
9.已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有＝2＝2＋＋λ，则λ＝________.
三、解答题
10．已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体．
(1)化简＋＋；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BC C′ B′对角线B C′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
11．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．
能力提升
12.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1 中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b＋cD．－a－b＋c
13.如图所示，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1 对交线的交点，点P是空间任意一点.试探求＋＋＋＋＋＋＋与的关系．
1．向量共线的充要条件及其应用
(1)利用向量共线判定a，b所在的直线平行．
(2)利用向量共线可以证明三点共线．
2．利用共面向量的充要条件可以证明空间四点共面．
3．1.2 空间向量的数乘运算
知识梳理
1．(1)λa 相同 相反 |λ| (2)λ(a＋b)＝λa＋λb λ(μa)＝(λμ)a
2．(1)平行 重合 (2)存在实数λ，使a＝λb
(3) ＝＋ta
3．(1)同一个平面
(2)p＝xa＋yb ＝x＋y
＝＋x＋y
作业设计
1．C [A中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ.]
2．C [由＝知与共线，又因有一共同的点B，故A、B、C三点共线．]
3．D [∵＝＋＝＋，①
＝＋＋，②
＝＋＋，③
又＝－，＝－2，
∴①＋②＋③，得3＝＋＋，
即x＝，y＝，z＝.]
4．C [∵＋＋＝0，∴＝－－.
∴M与A、B、C必共面．只有选项C符合．]
5．C [
如图所示，因为－＝，而＝，
∴－＝，
即＝＋，
而与不共线，所以，，三向量共面．]
6．D [A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．
B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．
C错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有>这种写法．
D对．∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，故∥正确．]
7．0
解析
如图，取BC的中点F，连结DF，则＝，
∴＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0.
8.a＋b＋c
解析
如图，＝(＋)
＝＋×(＋)
＝a＋b＋c.
9．－2
解析 P与不共线三点A，B，C共面，
且＝x＋y＋z (x，y，z∈R)，
则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件．
10．解 (1)方法一 取AA′的中点为E，
则＝.
又＝，＝，取F为D′C′的一个三等分点
(D′F＝D′C′)，
则＝.
∴＋＋
＝＋＋＝.
方法二 取AB的三等分点P使得＝，
取CC′的中点Q，则＋＋
＝＋＋＝＋＋
＝＋＋＝.
(2)连结BD，则M为BD的中点，
＝＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝(－＋)＋(＋)
＝＋＋.
∴α＝，β＝，γ＝.
11．证明 ∵＝，＝，
∴＝2，＝2.
又∵＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝(＋)＋＋(＋)
＝(＋)，①
又A，B，C及A1，B1，C1分别共线，
∴＝λ＝2λ，＝ω＝2ω.
代入①式，得＝(2λ＋2ω)
＝λ＋ω.
∴，，共面．∴M，N，P，Q四点共面．
12．A [＝＋＝＋
＝c＋(＋)＝－＋＋c
＝－a＋b＋c.]
13．解
设E、E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C1D1的中心，
于是有＋＋＋＝(＋)＋(＋)
＝2＋2＝4，
同理可证：＋＋＋＝4，
又因为平行六面体对角线的交点O是EE1的中点，所以＋＝2，
所以＋＋＋＋＋＋＋＝4＋4＝4(＋)＝8.