学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
【解析】 第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件．
【答案】 B
2．(2016·吉林一中期末)已知n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是( )
A．5 B．20
C．10 D．40
【解析】 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，
则有2n＝32，可得n＝5，
Tr＋1＝Cx2(5－r)·x－r＝Cx10－3r，
令10－3r＝1，解得r＝3，
所以展开式中含x项的系数是C＝10，故选C.
【答案】 C
3．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于( ) 【导学号：97270026】
A．2n B.
C．2n＋1 D.
【解析】 令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，①
令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，②
①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，
∴a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D.
【答案】 D
4．(2016·信阳六高期中)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.故选A.
【答案】 A
5．在(x－)2 010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于( )
A．23 015 B．－23 014
C．23 014 D．－23 008
【解析】 因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23 014.
【答案】 B
二、填空题
6．若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则＋＋…＋的值为________．
【解析】 令x＝0，得a0＝1.令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1.
【答案】 －1
7．若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是________．
【解析】 7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝C9n(－1)0＋C9n－1(－1)1＋…＋C90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.
【答案】 7或0
8．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图135所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.
【解析】 根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，
使得连续三项C，C，C，有＝且＝.
化简得＝，＝，联立解得k＝27，n＝62.
故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．
【答案】 62
三、解答题
9．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.
【解】 (1)令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.①
(2)令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128.②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝256，
所以a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128.
10．已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．
【解】 由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，得n＝8.8的展开式共有9项，其中T5＝C4(2x)4＝x4，该项的二项式系数最大，系数为.
[能力提升]
1．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【解析】 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－1)10，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(＋1)10，
故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)
＝(－1)10(＋1)10＝1.
【答案】 A
2．把通项公式为an＝2n－1(n∈N*)的数列{an}的各项排成如图136所示的三角形数阵．记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是( )
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
图136
A．91 B．101
C．106 D．103
【解析】 设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn}，则b1＝1，bn－bn－1＝2(n－1)，∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，
∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.
【答案】 B
3．(2016·孝感高级中学期中)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．
【解析】 令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.
【答案】 5
4．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次项的系数之和. 【导学号：97270027】
【解】 (1)由已知C＋2C＝11，所以m＋2n＝11，
x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)·＝2＋.
因为m∈N*，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，
所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，
设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，
故展开式中x的奇次项的系数之和为30.