第一章 计数原理
1.3 二项式定理
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．(1＋x)2n＋1(n∈N*)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )
A．n，n＋1 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
解析：因为2n＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n＋1，n＋2.
答案：C
2．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝30，则n等于( )
A．5 B．3 C．4 D．7
解析：令x＝1得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30，解得n＝4.
答案：C
3．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )
A．第6项 B．第5项
C．第5、第6项 D．第6、第7项
解析：因为C＝C，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．
答案：A
4．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于( )
A．64 B．32 C．63 D．31
解析：由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C＋C＋C＝C＋C＋C＝×26＝32.
答案：B
5．设的展开式中各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为( )
A．－150 B．150 C．300 D．－300
解析：令x＝1，得M＝4n，又N＝2n，故4n－2n＝240，解得n＝4.展开式中的通项为Tr＋1＝C(5x)4－r＝(－1)r54－rCx4－r，令4－r＝1得r＝2，所以当r＝2时，展开式中x的系数为(－1)2·C·52＝150.
答案：B
二、填空题
6．(a＋)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________．
解析：C＋C＋C＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝Ca3()7＝120a.
答案：120a
7．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．
解析：因为8＜C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＜32，即8＜2n＜32.所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x.
答案：6x
8．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．
1
3 3
5 6 5
7 11 11 7
9 18 22 18 9
…
解析：由于每行的第1个数1，3，5，7，9，…成等差数列，由等差数列的知识可知，an＝2n－1.
答案：2n－1
三、解答题
9．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.
解：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.
(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，①
令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
10．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26，
解得n＝8.
所以(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为
T5＝C(2x)4＝1 120x4.
设第(k＋1)项系数最大，则有
解得5≤k≤6.
又因为k∈{0，1，2，…，8}，所以k＝5或k＝6.
所以系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
B级 能力提升
1．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为( )
A．奇数 B．偶数
C．3的倍数 D．被3除余1的数
解析：9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C·9n＋…＋C·92＋C＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，所以n＋1为偶数，n为奇数．
答案：A
2．(2015·山东卷)观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41；
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
……
照此规律，当n∈N*时，
C＋C＋C＋…＋C＝________．
解析：具体证明过程可以是：
C＋C＋C＋…＋C＝(2C＋2C＋2C＋…＋2C)＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)]＝(C＋C＋C＋…＋C＋C＋…＋C)＝·22n－1＝4n－1.
答案：4n－1
3．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
解：由得Tr＋1＝C＝Cx，
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
所以r＝4，常数项T5＝C·＝16.
又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.
所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝Ca4＝54.
解得a＝±.