2.2.2 向量减法运算及其几何意义
课时目标 1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．
向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝________.如图所示．
(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：－＝________.
一、选择题
1.在如图四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
2．化简－＋＋的结果等于( )
A.B.C.D.
3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋B.＝－
C.＝－＋D.＝－－
4．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有( )
A.＝0B.＝0或＝0
C．ABCD是矩形D．ABCD是菱形
5．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是( )
A．[3,8]B．(3,8)
C．[3,13]D．(3,13)
6．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1B．2C.D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.
8．化简(－)－(－)的结果是________．
9.如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则＝____________(用a，b，c表示)．
10．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.
三、解答题
11.如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.
12.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量并分别求出其长度，
(1)a＋b＋c； (2)a－b＋c.
能力提升
13．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
14．如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以向量＝a、＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．
2．2.2 向量减法运算及其几何意义
答案
知识梳理
(1)相反向量 (2) (3)始点 终点
作业设计
1．A 2.B 3.B
4．C [＋与－分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|＋|＝|－|，
∴ABCD是矩形．]
5．C [∵||＝|－|且
|||－|||≤|－|≤|A|＋||.
∴3≤|－|≤13.
∴3≤||≤13.]
6．D [
如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连结AD，则－＝＋
＝＋＝.
在△ABD中，AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，易求AD＝，
∴|－|＝.]
7.
8．0
解析 方法一 (－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
方法二 (－)－(－)
＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0.
9．a－b＋c
解析 ＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.
10．4
解析 如图所示．
设O＝a，O＝b，则|B|＝|a－b|.
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，
则|O|＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42.
故|O|2＋|O|2＝|B|2，
所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，
从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形，
根据矩形的对角线相等有|O|＝|B|＝4，
即|a＋b|＝4.
11．证明 方法一 ∵b＋c＝＋＝＋＝，
＋a＝＋＝，
∴b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.
方法二 ∵c－a＝－＝－＝，
＝＋＝－b，
∴c－a＝－b，即b＋c－a＝.
12．解 (1)由已知得a＋b＝＋＝，
又＝c，∴延长AC到E，
使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2.
∴|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，
则＋＝，
而＝－＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.
∴|a－b＋c|＝2.
13．解 由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，
＝－＝a－b.
则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
14．证明 作直径BD，连接DA、DC，则＝－，
DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.
∴CH∥DA，AH∥DC，
故四边形AHCD是平行四边形．
∴＝，
又＝－＝＋，
∴＝＋＝＋＝＋＋.