学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A．2 B．1
C．4 D．8
【解析】 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的距离等于4，故选C.
【答案】 C
2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2 B．4
C．6 D．4
【解析】 据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1，0)，|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m＝2，∴等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D.
【答案】 D
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得
①－②得，
(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)．
又∵y1＋y2＝4，∴＝＝＝k＝1，∴p＝2.
∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.
【答案】 B
4．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．6
C．12 D．7
【解析】 焦点F的坐标为，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝，
即y＝x－，代入y2＝3x，
得x2－x＋＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋＝＋＝12，故选C.
【答案】 C
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )
A．10 B．8
C．6 D．4
【解析】 由题意知p＝2，|AB|＝x1＋x2＋p＝8.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
【解析】 设抛物线上点的坐标为(x，±)，此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±，∴此点坐标为.
【答案】
7．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
【解析】 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.
【答案】 0或1
8．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________. 【导学号：18490074】
【解析】 设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.
过点P(－1，0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．
由
得ky2－4y＋4k＝0.
当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，
化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，
设A(x0，y0)，由题知M.
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，
∴x＋＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0，
得8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
【解】 (1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离为3＋＝.
[能力提升]
1．(2016·菏泽期末)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0，1)，则＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝，故选C.
【答案】 C
2．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝( )
A. B.
C. D．2
【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2，0)，则过焦点且斜率为k的直线的方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16，因为·＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故选D.
【答案】 D
3．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
【解析】 由于x2＝2py(p>0)的准线为y＝－，由
解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为
A，B，所以AB＝2.
由△ABF为等边三角形，得AB＝p，解得p＝6.
【答案】 6
4．已知抛物线x＝－y2与过点(－1，0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积等于时，求k的值. 【导学号：18490075】
【解】 过点(－1，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，
由方程组
消去x，整理得ky2＋y－k＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝－1.
设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(－1，0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，
∴S△OAB＝＝＝，
解得k＝－或.