1.7.1 定积分在几何中的应用
[学习目标]
1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．
2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解．
[知识链接]
1．怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．
2．当f(x)<0时，f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？
答
如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)＝0，下边界函数为f(x)，所以S＝(0－f(x))dx＝－f(x)dx.
[预习导引]
曲边梯形面积的表达式
(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝f(x)dx.
(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠
b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝－f(x)dx.
(3)(如图)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝[f(x)－g(x)]dx.
要点一 不分割型图形面积的求解
例1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
解 由得
或所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得
S＝－3[(－x＋2)－(x2－4)]dx＝－3(－x2－x＋6)dx
＝＝－＝.
规律方法 不分割型图形面积的求解步骤：
(1)准确求出曲线的交点横坐标；
(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；
(3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；
(4)计算得所求面积．
跟踪演练1 求由曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成的图形的面积．
解
由
得x1＝0，x2＝2.由图可知，所求图形的面积为
S＝[(2x－x2)－(2x2－4x)]dx
＝(－3x2＋6x)dx
＝(－x3＋3x2)
＝4.
要点二 分割型图形面积的求解
例2 求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．
解 法一 画出草图，如图所示．
解方程组
及
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
所以S＝
dx＋dx
＝dx＋dx
＝＋
＝＋6－×9－2＋＝.
法二 若选积分变量为y，则三个函数分别为
x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.
因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
所以S＝－1[(2－y)－(－3y)]dy＋0[(2－y)－y2]dy
＝－1(2＋2y)dy＋0(2－y－y2)dy
＝(2y＋y2)＋
＝－(－2＋1)＋2－－＝.
规律方法 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时，可通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区间段，然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限．
跟踪演练2 计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成图形的面积S.
解
作出曲线y2＝x，y＝x3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组
得交点横坐标为x＝0及x＝1.
因此，所求图形的面积为
S＝dx－x3dx＝x－x4
＝－＝.
要点三 定积分的综合应用
例3 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.
又f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等实根，
即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)画函数y＝f(x)的图象如图．
由图象知所求面积为
S＝－1(x2＋2x＋1)dx
＝
＝.
规律方法 由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面积是一种基本的运算技能．在这种题型中往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识进行融合．
跟踪演练3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为，试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．
解 设切点A(x0，x)，
切线斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0.
∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．
令y＝0，得x＝，
∴S＝∫0x2dx＋∫x0[x2－(2x0x－x)]dx＝x.
∴x＝，x0＝1.
∴切点为(1,1)，切线方程为y＝2x－1.
1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )
S＝[f(x)－g(x)]dx S＝(2－2x＋8)dx
① ②
S＝f(x)dx－f(x)dx S＝[g(x)－f(x)]dx＋[f(x)－g(x)]dx
③ ④
A．①③ B．②③
C．①④ D．③④
答案 D
解析 ①应是S＝[f(x)－g(x)]dx，②应是
S＝2dx－(2x－8)dx，③和④正确．故选D.
2．曲线y＝cosx(0≤x≤π)与坐标轴所围图形的面积是( )
A．2 B．3
C． D．4
答案 B
解析 S＝∫0cosxdx－∫cosxdx＝sinx＝sin－sin0－sin＋sin＝1－0＋1＋1＝3.
3．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为________．
答案
解析 解方程组，得
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0)．
∴S＝(2x－x2)dx＝＝－0＝.
4．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．
答案
解析
由图形可得
S＝(x2＋4－5x)dx＋(5x－x2－4)dx
＝＋
＝＋4－＋×42－×43－4×4－＋＋4＝.
对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时
(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．
(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.
一、基础达标
1．
用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )
A.f(x)dx
B.
C．f(x)dx＋f(x)dx
D.f(x)dx－f(x)dx
答案 D
解析 ∵x∈[a，b]时，f(x)<0，x∈[b，c]时，f(x)>0，
∴阴影部分的面积S＝f(x)dx－f(x)dx.
2．若y＝f(x)与y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为( )
A.[f(x)－g(x)]dx B．[g(x)－f(x)]dx
C．|f(x)－g(x)|dx D．
答案 C
解析 当f(x)＞g(x)时，所求面积为[f(x)－g(x)]dx；当f(x)≤g(x)时，所求面积为[g(x)－f(x)]dx.综上，所求面积为|f(x)－g(x)|dx.
3．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A.(x2－1)dx
B.
C．|x2－1|dx
D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx
答案 C
解析 y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.
4．(2013·北京卷)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )
A. B．2
C． D．
答案 C
解析 抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0,1)，因为直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，所以直线l的方程为y＝1，
由，可得交点的横坐标分别为－2,2.
所以直线l与抛物线围成的封闭图形面积为
－2dx＝＝.故选C.
5．由曲线y＝与y＝x3所围成的图形的面积可用定积分表示为________．
答案 (－x3)dx
解析 画出y＝和y＝x3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，
解方程组得交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝(－x3)dx.
6．由两条曲线y＝x2，y＝x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．
答案
解析 如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，
y＝1与y＝交点B(2,1)，由对称性可知面积
S＝2＝.
7．求曲线y＝6－x和y＝，x＝0围成图形的面积．
解
作出直线y＝6－x，曲线y＝的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组得直线y＝6－x与曲线y＝交点的坐标为(2,4)，直线y＝6－x与x轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积
S＝S1＋S2＝dx＋(6－x)dx＝
×x＝
＋＝
＋8＝.
二、能力提升
8．(2013·江西改编)设f(x)＝则f(x)dx等于( )
A. B．
C． D．不存在
答案 C
解析
数形结合，如图，f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝＋
＝＋＝.
9．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是，则c等于( )
A. B．
C．1 D．
答案 B
解析 由得x＝0或x＝.
∵0
∴S＝∫0(x2－cx3)dx
＝0
＝－＝＝.
∴c3＝.∴c＝.
10．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
答案
解析 根据题意得：S阴＝3x2dx＝
x3＝1，则点M取自阴影部分的概率为
＝＝.
11．求抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积．
解 由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，
由得两直线交点坐标为C(2,2)，
∴S＝S△ABC－f(－x2＋4x－3)dx
＝×2×2－＝2－＝.
12．设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1、S2.
(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；
(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．
解 (1)设点P的横坐标为t(0
直线OP的方程为y＝tx.
S1＝(tx－x2)dx＝t3，
S2＝(x2－tx)dx＝－2t＋t3.
因为S1＝S2，所以t＝，点P的坐标为.
(2)S＝S1＋S2＝t3＋－2t＋t3＝t3－2t＋，
S′＝t2－2，
令S′＝0得t2－2＝0.∵0
所以，当t＝时，S1＋S2有最小值－，此时点P的坐标为(，2)．
三、探究与创新
13．已知抛物线y＝x2－2x及直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．
解 作出y＝x2－2x的图象如图．
(1)当a<0时，
S＝(x2－2x)dx＝＝－＋a2＝，
∴(a＋1)(a－2)2＝0.∵a<0，∴a＝－1.
(2)当a>0时，①若0
＝a2－a3＝，
∴a3－3a2＋4＝0，∴(a＋1)(a－2)2＝0.
∵a>0，∴a＝2.②当a>2时，不合题意．
综上a＝－1，或a＝2.