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课时自测·当堂达标
1.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.因为f′(x)=3x2+2ax+3,所以f′(-3)=0,
即3×(-3)2-6a+3=0,解得a=5.
2.函数f(x)=x2+x+2的极小值是 ( )
A.- B.2 C. D. 4
【解析】选C.f′(x)=2x+1,令f′(x)=0,解得x=-,当x∈时函数单调递减,当x∈时函数单调递增,因此x=-是函数的极小值点,极小值为f=.
3.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b= .
【解析】由题意f′(1)=3,
f′=0,
而f′(x)=3x2+2ax+b,
所以
解得
所以a+b=-2.
答案:-2
4.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于13,则实数m等于 .
【解析】y′=-3x2+12x,由y′=0,得x=0或x=4,容易得出当x=4时函数取得极大值,所以-43+6×42+m=13,解得m=-19.
答案:-19
5.已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值.
(1)求a,b的值.
(2)判断函数f(x)的单调区间,并求极值.
【解析】(1)因为f(x)=ax2+blnx,
所以f′(x)=2ax+.
又函数f(x)在x=1处有极值.
故即
可得a=,b=-1.
(2)由(1)可知f(x)=x2-lnx.
其定义域为(0,+∞).
且f′(x)=x-=.
令f′(x)=0,则x=-1(舍去)或x=1.
当x变化时,f′(x), f(x)的变化情况如表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),且函数在定义域上只有极小值f(1)=,而无极大值.
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