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课时提升作业 四
演绎推理
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·滨州高二检测)“三段论”①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③这艘船是准时起航的,其中的大前提是( )
A.① B.②
C.①② D.③
【解析】选A.由演绎推理可知,①是大前提.
2.(2016·福州高二检测)“所有金属都能导电,铁是金属,所有铁能导电”这种推理方法属于 ( )
A.演绎推理 B.类比推理
C.合情推理 D.归纳推理
【解析】选A.由题意知,这种推理包含有大前提、小前提、结论,是演绎推理.
3.(2016·聊城高二检测)“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理 ( )
A.小前提错误 B.结论错误
C.正确 D.大前提错误
【解析】选C.因为9是3的倍数,所以某奇数是9的倍数,它一定是3的倍数.
4.(2016·大同高二检测)函数y=xcosx-sinx在下列哪个区间内是增函数
( )
A. B.
C. D.(2π,3π)
【解析】选B.y′=cosx+x(-sinx)-cosx=-xsinx>0,由选项知x>0,所以sinx<0,故π
A.f(x) B.-f(x)
C.g(x) D.-g(x)
【解析】选D.由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x).
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·大连高二检测)若不等式ax2+2ax+2<0的解集为,则实数a的取值范围为________.
【解析】①a=0时,不等式变为2<0,显然此不等式解集为.
②a≠0时,需有即解得0
答案:
7.有一段演绎推理:
大前提:整数是自然数;
小前提:-3是整数;
结论:-3是自然数.
这个推理显然错误,则错误的原因是________错误.(从“大前提”“小前提”“结论”中择一填写).
【解析】自然数是非负整数,因此整数不一定是自然数,即大前提是错误的.
答案:大前提
8.已知f(x)=a-为奇函数,则a=________.
【解析】因f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,即f(0)=0.
即a-=0,得a=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.把下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)一切奇数都不能被2整除,(22015+1)是奇数,所以(22015+1)不能被2整除.
(2)三角函数都是周期函数,y=tanα是三角函数,因此y=tanα是周期函数;
(3)因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形.
【解析】(1)一切奇数都不能被2整除,……………………………………大前提
22015+1是奇数,…………………………………………………………………小前提
22015+1不能被2整除.…………………………………………………………结论
(2)三角函数都是周期函数,…………………………………………………大前提
y=tanα是三角函数.…………………………………………………………小前提
y=tanα是周期函数.…………………………………………………………结论
(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形,…大前提
△ABC三边的长依次为3,4,5,
且32+42=52, …………………………………………………………………小前提
△ABC是直角三角形. ………………………………………………………结论
10.(2016·南京高二检测)设m为实数,利用三段论证明方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.
【证明】因为如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式Δ=b2-4ac>0,
那么方程有两个相异实根. …………………………………………………大前提
Δ=(-2m)2-4(m-1)=4m2-4m+4=(2m-1)2+3>0, ………………………………小前提
所以方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.
……………………………………………………………………………………结论
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·鞍山高二检测)有一段演绎推理是这样的:“若一直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平面α,直线a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”的结论显然是错误的,这是因为 ( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.非以上错误
【解析】选A.因“直线与平面平行”,不能推出“直线平行于平面内的所有直线”,即大前提是错误的.
2.(2016·海港高二检测)若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则四边形ABCD一定是 ( )
A.直角梯形 B.矩形
C.正方形 D.菱形
【解析】选D.由+=0可得AB∥CD且AB=CD.
由(-)·=0即·=0
可知BD⊥AC.
故四边形ABCD是菱形.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·重庆高二检测)已知函数f(x)=,则
f+f+…+f+f=________.
【解析】因为f(x)===2+.
f(1-x)=2+=2-,
所以f(x) +f(1-x)=4,
所以f+f=4,…,
f+f=4,
所以f+f+…+f+f=4×1007=4028.
答案:4028
4.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E,F分别为AB,CD的中点,则AF与平面PEC的位置关系是________.(填“相交”或“平行”)
【解析】因为四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形.
所以AB∥CD且AB=CD.
又点E,F分别是AB,CD的中点.
所以CF∥AE且CF=AE.
所以四边形AECF为平行四边形.
所以AF∥CE,
又AF⊄平面PEC,CE⊂平面PEC.
所以AF∥平面PEC.
答案:平行
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·临沂高二检测)如图A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=.等边三角形ADB以AB为轴旋转.
(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD.
(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.
【解析】(1)取AB的中点E,连接CE,DE.
因为AC=BC=,AB=2,
所以△ABC为等腰直角三角形,所以CE⊥AB.
因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.
又平面ADB⊥平面ABC
且平面ADB∩平面ABC=AB,
所以DE⊥平面ABC.
所以DE⊥CE,
由已知得DE=AB=,CE=1.
所以在Rt△CDE中,CD==2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
证明如下:
当D在平面ABC内时
因为BC=AC,AD=BD,
所以C,D都在AB的垂直平分线上.
所以AB⊥CD.
当D不在平面ABC内时,
由(1)知AB⊥DE,AB⊥CE,
又DE∩CE=E,
所以AB⊥平面CDE,
又CD⊂平面CDE.
所以AB⊥CD.
综合上述,当△ADB转动时,总有AB⊥CD.
6.已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b.当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.
(1)求证:|c|≤1.
(2)当-1≤x≤1时,求证:-2≤g(x)≤2.
【解题指南】(1)利用f(0)=c结合-1≤x≤1时|f(x)|≤1来证明.(2)先分a>0和a<0两种情况取g(1),g(-1)结合单调性证明再讨论a=0的情况.
【证明】(1)因为x=0满足-1≤x≤1的条件,
所以|f(0)|≤1.而f(0)=c,所以|c|≤1.
(2)当a>0时,g(x)在上是增函数,
所以g(-1)≤g(x)≤g(1).
又g(1)=a+b=f(1)-c,
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c,
所以-f(-1)+c≤g(x)≤f(1)-c,
又-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,-1≤c≤1,
所以-f(-1)+c≥-2,f(1)-c≤2,
所以-2≤g(x)≤2.
当a<0时,可用类似的方法,证得-2≤g(x)≤2.
当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,
g(x)=f(1)-c,所以-2≤g(x)≤2.
综上所述,-2≤g(x)≤2.
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