(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(新课标全国卷Ⅱ)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
解析：选A 由题意可知z2＝－2＋i，
所以z1z2＝(2＋i)·(－2＋i)＝i2－4＝－5.
2．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
解析：选C 只有平行四边形与平行六面体较为接近．
3．实数的结构图如图所示，其中1,2,3三个方格中的内容分别为( )
A．有理数、零、整数
B．有理数、整数、零
C．零、有理数、整数
D．整数、有理数、零
解析：选B 由实数的包含关系知B正确．
4．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( )
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k
B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k
D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
解析：选D 利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak－1，且第k项中有k项，次数连续，故第k项为ak－1＋ak＋…＋a2k－2.
5．下列推理正确的是( )
A．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖
B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－c
C．若a，b均为正实数，则lg a＋lg b≥
D．若a为正实数，ab<0，则＋＝－＋≤－2＝－2
解析：选D A中推理形式错误，故A错；B中b，c关系不确定，故B错；C中lg a，lg b正负不确定，故C错．
6．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i.若为实数，则实数m的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D ＝＝
＝.
∵为实数，
∴6＋4m＝0，
∴m＝－.
7．观察下列等式：
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
…
照此规律，第n个等式为( )
A．(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
B．(n＋1)(n＋2)…(n＋1＋n＋1)＝2n×1×3×…×(2n－1)
C．(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n＋1)
D．(n＋1)(n＋2)…(n＋1＋n)＝2n＋1×1×3×…×(2n－1)
解析：选A 观察规律，等号左侧为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，等号右侧分两部分，一部分是2n，另一部分是1×3×…×(2n－1)．
8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 015的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选D ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，
58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…，
∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4.
记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数为f(n)，
则f(2 015)＝f(502×4＋7)＝f(7)，
∴52 015与57的末四位数相同，均为8 125.
9．(重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 第一次运行得s＝1＋(1－1)2＝1，k＝2；
第二次运行得s＝1＋(2－1)2＝2，k＝3；
第三次运行得s＝2＋(3－1)2＝6，k＝4；
第四次运行得s＝6＋(4－1)2＝15，k＝5；
第五次运行得s＝15＋(5－1)2＝31，
满足条件，跳出循环，
所以输出的k的值是5，故选C.
10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程为＝0.67x＋54.9.现发现表中有一个数据模糊不清，经推断可知该数据为( )
零件数x/个
10
20
30
40
50
加工时间y/min
62
75
81
89
A.70 B．68 C．66 D．64
解析：选B 依题意得，＝×(10＋20＋30＋40＋50)＝30.由于直线＝0.67x＋54.9必过点(，)，
于是有＝0.67×30＋54.9＝75，因此表中的模糊数据是75×5－(62＋75＋81＋89)＝68.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．复数z＝的共轭复数为________．
解析：z＝＝＝＝－1＋i，所以＝－1－i.
答案：－1－i
12．“一群小兔一群鸡，两群合到一群里，数腿共40，数脑袋共15，多少小兔多少鸡？”其解答流程图如图所示，空白部分应为________．
→→→
答案：解方程组
13．图1有面积关系：＝，则图2有体积关系：＝________.
解析：把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得＝.
答案：
14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则用n表示的f(n)＝________.
解析：由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，
f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，
推测当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，
所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.
又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，
所以f(n)＝3n2－3n＋1.
答案：3n2－3n＋1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知复数ω满足ω－4＝(3－2ω)i(i为虚数单位)，z＝＋|ω－2|，求.
解：由ω－4＝(3－2ω)i，得8ω(1＋2i)＝4＋3i，
∴ω＝＝2－i.
∴z＝＋|－i|＝3＋i.
则z＝3＋i的共轭复数＝3－i.
于是＝＝＝＝＋i.
16．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
解：(1)由题意知，
n＝10，＝i＝＝8，
＝i＝＝2，
＝＝＝＝0.3，
＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．
(1)求证：tan＝.
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解：(1)根据两角和的正切公式得
tan＝
＝＝，
即tan＝，命题得证．
(2)猜想：f(x)是以4a为周期的周期函数．
证明：因为f(x＋2a)＝f((x＋a)＋a)
＝
＝＝－，
所以f(x＋4a)＝f((x＋2a)＋2a)
＝－＝f(x)．
所以f(x)是以4a为周期的周期函数．
18．(本小题满分14分)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)上的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，得结果如下表所示：
甲厂：
分组
[29.86，29.90)
[29.90，29.94)
[29.94，29.98)
[29.98，30.02)
[30.02，30.06)
[30.06，30.10)
[30.10，30.14)
频数
12
63
86
182
92
61
4
乙厂：
分组
[29.86，29.90)
[29.90，29.94)
[29.94，29.98)
[29.98，30.02)
[30.02，30.06)
[30.06，30.10)
[30.10，30.14)
频数
29
71
85
159
76
62
18
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问：能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？
甲厂
乙厂
总计
优质品
非优质品
总计
解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为＝72%.
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为＝64%.
(2)
甲厂
乙厂
总计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
总计
500
500
1 000
K2的观测值k＝
≈7.35>6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
模块综合检测(二)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．设z＝，则z的共轭复数为( )
A．－1＋3i B．－1－3i
C．1＋3i D．1－3i
解析：选D ∵z＝＝＝1＋3i，∴＝1－3i.
2．以下说法，正确的个数为( )
①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．
②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．
③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质，这是运用的类比推理．
④个位是5的整数是5的倍数，2 375的个位是5，因此2 375是5的倍数，这是运用的演绎推理．
A．0 B．2 C．3 D．4
解析：选C ①人的身高与脚长的关系：身高＝脚印长×6.876(中国人)，是通过统计数据用线性回归的思想方法得到的，故不是类比推理，所以错误．②农谚“瑞雪兆丰年”是人们在长期的生产生活实践中提炼出来的，所以是用的归纳推理，故正确．③由球的定义可知，球与圆具有很多类似的性质，故由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质是运用的类比推理是正确的．④这是运用的演绎推理的三段论．大前提是“个位是5的整数是5的倍数”，小前提是“2 375的个位是5”，结论为“2 375是5的倍数”，所以正确．故选C.
3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
解析：选A 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．
4．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈”，其中“大前提”和“小前提”分别是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．②①
解析：选A 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题”(①所有的中国人都坚强不屈)，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件”(②雅安人是中国人)，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”(③雅安人一定坚强不屈)．故选A.
5．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
解析：选C 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.
6．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出：“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出：“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出：“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；
④“若x∈R，则|x|<1⇒－1
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B ①②正确，③④错误，因为③④中虚数不能比较大小．
7．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为( )
A．10 B．17
C．19 D．36
解析：选C 执行程序：k＝2，s＝0；s＝2，k＝3；s＝5，k＝5；s＝10，k＝9；s＝19，k＝17，此时不满足条件k<10，终止循环，输出结果为s＝19.选C.
8．p＝＋，q＝·(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为( )
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．不确定
解析：选B q＝ ≥＝＋＝p.
9．下图所示的是“概率”知识的( )
A．流程图 B．结构图
C．程序框图 D．直方图
解析：选B 这是关于“概率”知识的结构图．
10．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
总计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
总计
30
20
50
那么在犯错误的概率不超过________的前提下，认为“喜爱打篮球与性别有关”．( )
附参考公式：K2＝
P(K2＞k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.789
10.828
A.0.05 B．0.010
C．0.005 D．0.001
解析：选C 由2×2列联表可得，K2的估计值
k＝＝≈8.333>7.789，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜爱打篮球与性别有关”．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________________．
解析：a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然，<.∴a
解析：化简得z＝＝＝＋i，则虚部为.
答案：
13．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是________(填序号)．
①an＝2n ②an＝2(n－1) ③an＝2n ④an＝2n－1
解析：由程序框图可知：a1＝2×1＝2，a2＝2×2＝4，a3＝2×4＝8，a4＝2×8＝16，归纳可得：an＝2n.
答案：③
14．(福建高考)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0 有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．
解析：可分下列三种情形：
(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；
(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；
(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
答案：201
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
16．(本小题满分12分)某大学远程教育学院网上学习流程如下：
(1)学生凭录取通知书到当地远程教育中心报到，交费注册，领取网上学习注册码．
(2)网上选课，课程学习，完成网上平时作业，获得平时作业成绩．
(3)预约考试，参加期末考试获得期末考试成绩，获得综合成绩，成绩合格获得学分，否则重修．
试画出该远程教育学院网上学习流程图．
解：某大学远程教育学院网上学习流程如下：
17．(本小题满分12分)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)
(1)根据以上数据完成下面的2×2列联表：
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
50岁以上
总计
(2)能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？并写出简要分析．
解：(1)2×2列联表如下：
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
总计
20
10
30
(2)因为K2的观测值k＝＝10>6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．
18．(本小题满分14分)为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？
解：根据题目所给的数据得到如下列联表：
理科
文科
总计
有兴趣
138
73
211
无兴趣
98
52
150
总计
236
125
361
根据列联表中数据由公式计算得K2的观测值为
k＝≈1.871×10－4.
因为1.871×10－4<2.706，所以据目前的数据不能认为学生选报文、理科与对外语的兴趣有关，即可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．