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单元质量评估(一)
第一章
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2016·宜昌高二检测)下列命题:
①面积相等的三角形是全等三角形;
②若xy=0,则|x|+|y|=0;
③若a>b,则ac2>bc2;
④矩形的对角线互相垂直.
其中假命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.①等底等高的三角形都是面积相等的三角形,但不一定全等;②当x,y中一个为零,另一个不为零时,|x|+|y|≠0;③当c=0时不成立;④菱形的对角线互相垂直,矩形的对角线不一定垂直.
【补偿训练】下列命题是真命题的是 ( )
A.y=tanx的定义域是R
B.y=的值域为R
C.y=的递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞)
D.y=sin2x-cos2x的最小正周期是π
【解析】选D.当x=kπ+,k∈Z时,y=tanx无意义,A错;
函数y=的定义域为.
答案:
【拓展延伸】完美解决参数问题
通过已知条件,探索命题的真假,然后求解参数的取值范围,是逻辑用语部分常见的、基本的题型.解决此类问题要从三个方面入手:
(1)熟练掌握真值表,判断单个命题p,q的真假.
(2)具备丰富的基础知识储备,求解单个命题成立的参数范围.
(3)辅助应用集合的运算确定参数的最后范围.
15.(2016·徐州高二检测)已知命题p:≤1,命题q:x2-2x+1-m2<0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则实数m的范围是 .
【解析】命题p首先化简为-1≤x≤3,命题q是二次不等式,p是q的充分不必要条件说明当-1≤x≤3时不等式x2-2x+1-m2<0恒成立,故
又m>0,故可解得m>2.
答案:(2,+∞)
16.给出下列命题:
①数列,3,,,3…的一个通项公式是;
②当k∈(-3,0)时,不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立;
③函数y=sin2-sin2是周期为π的奇函数;
④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.
其中,真命题的序号是 .
【解析】①数列,3=,,,3=…的被开方数构成一个以3为首项,以6为公差的等差数列,故它的一个通项公式是,故①正确;
②当k∈(-3,0)时,因为Δ=k2+3k<0,故函数y=2kx2+kx-的图象开口朝下,且与x轴无交点,
故不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,故②正确;
③函数y=sin2-sin2=sin2-cos2=
-cos=sin2x,是周期为π的奇函数,故③正确;
④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内,故④正确.
故真命题的序号是①②③④.
答案:①②③④
【补偿训练】下列正确命题有 .
①“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件;
②如果命题“(p或q)”为假命题,则p,q中至多有一个为真命题;
③设a>0,b>1,若a+b=2,则+的最小值为3+2;
④函数f(x)=3ax+1-2a在(-1,1)上存在x0,使f(x0)=0,则a的取值范围是a<-1或a>.
【解析】①由θ=30°可得sinθ=,反之不成立,因此“sinθ=”是“θ=30°”的必要不充分条件;
②命题“(p或q)”为假命题,则p,q都是假命题;
③a+b=2,所以a+b-1=1,+=(a+b-1)=3++≥3+2,最小值为3+2;
④由题意得f(-1)f(1)<0,所以(-5a+1)(a-1)<0,所以a<-1或a>.
答案:③④
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.
(1)对数函数都是单调函数.
(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除.
(3)∀x∈{x|x>0},x+≥2.
(4)∃x0∈Z,log2x0>2.
【解析】(1)本题隐含了全称量词“所有的”,其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”,是全称命题,且为真命题.
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.
(3)命题中含有全称量词“∀”,是全称命题,真命题.
(4)命题中含有存在量词“∃”,是特称命题,真命题.
18.(12分)已知f(x)=x2,g(x)=-m,若对∀x1∈,∃x2∈,有f(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.
【解析】根据题意知,f(x1)min≥g(x2)min,
当x1∈时,f(x1)min=0.
当x2∈时,g(x2)=-m的最小值为g(2)=-m.
因此0≥-m,解之得m≥.
故实数m的取值范围是.
19.(12分)(2016·马鞍山高二检测)已知曲线C:x2+y2+Gx+Ey+F=0(G2+E2-4F>0),求曲线C在x轴上所截的线段的长度为1的充要条件,证明你的结论.
【解题指南】先求出必要条件,再证明其充分性.
【解析】必要性:令y=0,则x2+Gx+F=0.
设x1,x2为此方程的根,
若|x1-x2|==1,则G2-4F=1.
充分性:若G2-4F=1,x2+Gx+F=0
有两根为x1,x2,且x1+x2=-G,x1·x2=F,
|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1·x2=G2-4F=1.
故所求的充要条件是G2-4F=1.
20.(12分)(2016·汕头高二检测)已知p:-2≤1-≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
【解题指南】先解不等式求出p真和q真的条件.p真:-2≤x≤10;q真:1-m≤x≤1+m,然后利用p是q的必要不充分条件,根据集合之间的包含关系建立关于m的不等式,求出m的取值范围.
【解析】由x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m,
所以q:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.
由-2≤1-≤2,得-2≤x≤10.
所以p:B={x|x>10或x<-2},
因为p是q的必要不充分条件,
所以AB,所以
21.(12分)(2016·聊城高二检测)设命题p:函数f(x)=lg的定义域为R:命题q:3x-9x
若a=0,则不等式等价为-x>0,解得x<0,不满足恒成立.
若a≠0,则满足条件
即解得即a>2,所以p:a>2.
因为g(x)=3x-9x=-+≤,
所以要使3x-9x
要使p且q为假,则p,q至少有一个为假命题.
当p,q都为真命题时,满足即a>2,
所以p,q至少有一个为假命题时有a≤2,
即实数a的取值范围是a≤2.
22.(12分)(2016·福州高二检测)已知a>0,b>0,函数f(x)=ax-bx2.
(1)求证:∀x∈R均有f(x)≤1是a≤2的充分条件.
(2)当b=1时,求f(x)≤1,x∈恒成立的充要条件.
【解析】(1)f(x)=ax-bx2=-b+,
因为∀x∈R,f(x)≤1,
所以≤1,又a>0,b>0,
所以a≤2,
所以∀x∈R均有f(x)≤1是a≤2的充分条件.
(2)因为b=1,所以f(x)=ax-x2,
当x=0时,f(x)=0≤1成立,
当x∈(0,1]时,f(x)≤1恒成立,
即a≤x+在(0,1]上恒成立,又=2,此时x=1,
所以0
所以f(x)≤1,x∈(0,1]上恒成立的充要条件为0