高中数学人教选修1-2同步练习2.综合法与分析法（二） Word版含解析

2.2.1　综合法与分析法(二)
一、基础过关
1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则 (　　)
A．a≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
2．已知a、b、c、d∈{正实数}，且<，则 (　　)
A.<< B.<<
C.<< D．以上均可能
3．下面四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac；
②a(1－a)≤；
③＋≥2；
④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有 (　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．若实数a，b满足0A. B．2ab C．a2＋b2 D．a
5．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是________．
6．如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.
求证：AF⊥SC.
证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为______)，只需证______，只需证AE⊥BC(因为________)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为______)．由SA⊥平面ABC可知，上式成立．
二、能力提升
7．命题甲：()x、2－x、2x－4成等比数列；命题乙：lg x、lg(x＋2)、lg(2x＋1)成等差数列，则甲是乙的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg()，则 (　　)
A．RC．Q9．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________．
10．如果a，b都是正数，且a≠b，求证：＋>＋.
11．已知a>0，求证： －≥a＋－2.
12．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
13．已知函数f(x)＝x2＋＋aln x(x>0)，对任意两个不相等的正数x1、x2，证明：当a≤0时，>f()．
三、探究与拓展
14．已知a，b，c，d∈R，求证：
ac＋bd≤.(你能用几种方法证明？)
答案
1．C　2．A　3．C　4．C　5．a>b>c
6．EF⊥SC　AE⊥平面SBC　AE⊥SB　AB⊥BC
7．C　8．B　9．①③⇒②
10．证明　方法一　用综合法
＋－－
＝
＝
＝>0，
∴＋>＋.
方法二　用分析法
要证＋>＋，
只要证＋＋2>a＋b＋2，
即要证a3＋b3>a2b＋ab2，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，
即需证a2－ab＋b2>ab，
只需证(a－b)2>0，
因为a≠b，所以(a－b)2>0恒成立，
所以＋>＋成立．
11．证明　要证 －≥a＋－2，
只要证 ＋2≥a＋＋.
∵a>0，故只要证 2≥2，
即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2＋2，
从而只要证2≥，
只要证4≥2，
即a2＋≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．
12．证明　方法一　(分析法)
要证(－1)(－1)(－1)≥8成立，
只需证··≥8成立．
因为a＋b＋c＝1，
所以只需证··≥8成立，
即证··≥8成立．
而··≥··＝8成立．
∴(－1)(－1)(－1)≥8成立．
方法二　(综合法)
(－1)(－1)(－1)
＝(－1)(－1)(－1)
＝··
＝
≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，所以原不等式成立．
13．证明　由f(x)＝x2＋＋aln x，
得＝(x＋x)＋(＋)＋(ln x1＋ln x2)
＝(x＋x)＋＋aln .
f()＝()2＋＋aln ，
∵x1≠x2且都为正数，
有(x＋x)>[(x＋x)＋2x1x2]＝()2.①
又(x1＋x2)2＝(x＋x)＋2x1x2>4x1x2，
∴>.②
∵<，
∴ln∵a≤0，∴aln≥aln.③
由①、②、③得
>f()．
14．证明　方法一　(用分析法)
①当ac＋bd≤0时，显然成立．
②当ac＋bd>0时，欲证原不等式成立，只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2.
即证2abcd≤b2c2＋a2d2.
即证0≤(bc－ad)2.
因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立．
故原不等式成立，综合①②知，命题得证．
方法二　(用综合法)
(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
＝(a2c2＋2acbd＋b2d2)＋(b2c2－2bcad＋a2d2)
＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)2≥(ac＋bd)2.
∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd.
方法三　(用比较法)
∵(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2
＝(bc－ad)2≥0，
∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd.
方法四　(用放缩法)
为了避免讨论，由ac＋bd≤|ac＋bd|，
可以试证(ac＋bd)2≤ (a2＋b2)(c2＋d2)．
由方法一知上式成立，从而方法四可行．
方法五　(构造向量法)
设m＝(a，b)，n＝(c，d)，
∴m·n＝ac＋bd，
|m|＝，
|n|＝.
∵m·n≤|m|·|n|＝·.
故ac＋bd≤.