(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)
1. 已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)
2．任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是( )
A．0 B．3 C．－2 D．3－2t
3．已知曲线y＝2ax2＋1过点(，3)，则该曲线在该点处的切线方程为( )
A．y＝－4x－1 B．y＝4x－1
C．y＝4x－11 D．y＝－4x＋7
4．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A. B. ∪
C. D.
5．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
6．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
7．已知a>0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若函数f(x)＝asin x＋cos x在x＝处有最值，那么a等于( )
A. B．－ C. D．－
9．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1
C．π D．π＋1
10. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11．函数f(x)＝的单调增区间是( )
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)，(1，＋∞)
D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益( )
A．0.012 B．0.024
C．0.032 D．0.036
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________________________________________________________________________.
14．设函数f(x)＝ax3－3x＋1 (x∈R)，若对于x∈[－1，1]，都有f(x)≥0，则实数a的值为________________________________________________________________________．
15. 如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A、B在抛物线上运动，C、D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
16．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x＝±1处的切线的倾斜角均为π，有以下命题：
①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]．
②f(x)的极值点有且只有一个．
③f(x)的最大值与最小值之和等于零．
其中正确命题的序号为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值．
(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)
20．(12分)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.
(1)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；
(2)设f(x)在[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．
21.(12分)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
22．(12分)已知函数f(x)＝x2＋ln x.
(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．
第三章 导数及其应用(B) 答案
1．B [f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′(xA)
s′(0)＝s′|t＝0＝(3－2t)|t＝0＝3.]
3．B [∵曲线过点(，3)，∴3＝2a2＋1，∴a＝1，
∴切点为(1,3)．由导数定义可得y′＝4ax＝4x，
∴该点处切线斜率为k＝4，
∴切线方程为y－3＝4(x－1)，即y＝4x－1.]
4．B
5．B [f′(x)＝3x2＋a.令3x2＋a≥0，
则a≥－3x2，x∈(1，＋∞)，∴a≥－3.]
6．A [∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.]
7．C
8．A [f′(x)＝acos x－sin x，由题意f′＝0，
即a·－×＝0，∴a＝.]
9．C [y′＝1－cos x≥0，所以y＝x－sin x在上为增函数．∴当x＝π时，
ymax＝π.]
10．A [由图象看，在图象与x轴的交点处左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0的点才满足题意，这样的点只有一个B点．]
11．C [∵f′(x)＝
＝＝>0，又x≠1，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]
12．B [由题意知，存款量g(x)＝kx (k>0)，银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，
x∈(0，0.048)．设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx－kx2.于是y′＝0.048k－2kx，令y′＝0，解得x＝0.024，依题意知y在x＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益．]
13．3
解析 由切点(1，f(1))在切线y＝x＋2上，
得f(1)＝×1＋2＝.又∵f′(1)＝，
∴f′(1)＋f(1)＝＋＝3.
14．4
解析 若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0，显然成立；
当x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可转化为a≥－，
设g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；
当x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0
可转化为a≤－，
设g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间[－1,0)上单调递增．
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，
综上所述，a＝4.
15.
解析 设CD＝x，则点C坐标为.
点B坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x (x∈(0,2))．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)>0，f(x)是递增的，
x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，
当x＝时，f(x)取最大值.
16．①③
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意得f(0)＝0，
f′(－1)＝f′(1)＝tan ＝－1.
∴，∴a＝0，b＝－4，c＝0.
∴f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]．故①正确．
由f′(x)＝3x2－4＝0得x1＝－，x2＝.
根据x1，x2分析f′(x)的符号、f(x)的单调性和极值点.
x
－2
(－2，－）
－
(－，)
(，2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
－
0
∴x＝－是极大值点也是最大值点．
x＝是极小值点也是最小值点．
f(x)min＋f(x)max＝0.∴②错，③正确．
17．解 f′(x)＝x2－ax＋a－1，
由题意知f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，
且f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．
由f′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0，
即x2－1≤a(x－1)．
∵x∈(1,4)，∴x－1∈(0,3)，
∴a≥＝x＋1.
又∵x＋1∈(2,5)，∴a≥5， ①
由f′(x)≥0得x2－ax＋a－1≥0，
即x2－1≥a(x－1)．
∵x∈(6，＋∞)，∴x－1>0，
∴a≤＝x＋1.
又∵x＋1∈(7，＋∞)，∴a≤7， ②
∵①②同时成立，∴5≤a≤7.
经检验a＝5或a＝7都符合题意，
∴所求a的取值范围为5≤a≤7.
18．解 (1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由f′＝－a＋b＝0，
f′(1)＝3＋2a＋b＝0得a＝－，b＝－2.
f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
令f′(x)>0，得x<－或x>1，
令f′(x)<0，得－
(2)f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，
由(1)知，当x＝－时，f＝＋c为极大值，
而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值，
要使f(x)
19．解 设每次订购电脑的台数为x，则开始库存量为x台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为x台，所以每年的保管费用为x·4 000·10%元，
而每年的订货电脑的其它费用为·1 600元，
这样每年的总费用为·1 600＋x·4 000·10%元．
令y＝·1 600＋x·4 000·10%，
y′＝－·5 000·1 600＋·4 000·10%.
令y′＝0，解得x＝200(台)．
也就是当x＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．
20．解 (1)对函数f(x)求导数，得
f′(x)＝(x2－2ax)ex＋(2x－2a)ex
＝[x2＋2(1－a)x－2a]ex.
令f′(x)＝0，得[x2＋2(1－a)x－2a]ex＝0，
从而x2＋2(1－a)x－2a＝0.
解得x1＝a－1－，x2＝a－1＋，
其中x1
x
(－∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
当f(x)在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取到极小值．
当a≥0时，x1<－1，x2≥0.
f(x)在(x1，x2)为减函数，在(x2，＋∞)为增函数．
而当x<0时，f(x)＝x(x－2a)ex>0；
当x＝0时，f(x)＝0，所以当x＝a－1＋时，f(x)取得最小值．
(2)当a≥0时，f(x)在[－1,1]上为单调函数的充要条件是x2≥1，即a－1＋≥1，
解得a≥.
综上，f(x)在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为a≥.即a的取值范围是.
21．(1)解 由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
2(1－ln 2＋a)
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
(2)证明 设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，
即ex－x2＋2ax－1>0，
故ex>x2－2ax＋1.
22．(1)解 ∵f(x)＝x2＋ln x，∴f′(x)＝2x＋.
∵x>1时，f′(x)>0，
∴f(x)在[1，e]上是增函数，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.
(2)证明 令F(x)＝f(x)－g(x)
＝x2－x3＋ln x，
∴F′(x)＝x－2x2＋＝
＝＝.
∵x>1，∴F′(x)<0，
∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数，
∴F(x)