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课时提升作业(二十一)
导数的运算法则
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数y=xsinx+的导数是 ( )
A.y=sinx+xcosx+
B.y=sinx-xcosx+
C.y=sinx+xcosx-
D.y=sinx-xcosx-
【解析】选A.因为y=xsinx+,
所以y′=′
=′+′
=x′sinx+x·(sinx)′+
=sinx+xcosx+.
2.(2015·泉州高二检测)下列求导运算正确的是 ( )
A.′=1+
B.′=
C.′=3x·log3e
D.′=-2sinx
【解析】选B.因为′=x′+′=1-,所以A选项错误;
又′=,所以选项B正确;
又′=3xln3,所以选项C错误;
又′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以选项D错误.
3.(2015·太原高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=
2xf′(e)+lnx,则f′(e)=( )
A.e-1 B.-1 C.-e-1 D.-e
【解析】选C.因为f(x)=2xf′(e)+lnx,
所以f′(x)=2f′(e)+,
所以f′(e)=2f′(e)+,
解得f′(e)=-=-e-1.
4.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)= 4,则a的值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.f′(x)=3ax2+6x,因为f′(-1)=3a-6,
所以3a-6=4,所以a=.
5.(2015·贵阳高二检测)曲线y=xex+1在点(0,1)处的切线方程是 ( )
A.x-y+1=0 B.2x-y+1=0
C.x-y-1=0 D.x-2y+2=0
【解析】选A.y′=ex+xex,且点(0,1)在曲线上,当x=0时,导数值为1,故所求的切线方程是y-1=x,即x-y+1=0.
【补偿训练】曲线C:f(x)=sinx+ex+2在x=0处的切线方程为________.
【解析】由f(x)=sinx+ex+2得f′(x)=cosx+ex,从而f′(0)=2,又f(0)=3,所以切线方程为y-3=2(x-0),即y=2x+3.
答案:y=2x+3
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+(t的单位:s,s的单位:m),则它在第4s末的瞬时速度应该为________m/s.
【解析】因为s′=2t-,
所以当t=4时,v=8-=(m/s).
答案:
7.(2015·鸡西高二检测)若函数f(x)=,则f′(π)=________.
【解析】因为f′(x)=
=,
所以f′(π)==.
答案:
8.设a∈R,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是f′(x),若f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为______________.
【解析】f′(x)=3x2+2ax+(a-3),
又f′(-x)=f′(x),
即3x2-2ax+(a-3)=3x2+2ax+(a-3)对任意x∈R都成立,
所以a=0,f′(x)=3x2-3,f′(0)=-3,
曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=-3x.
答案:y=-3x
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·哈尔滨高二检测)求下列函数的导数.
(1)y=.
(2)y=2xcosx-3xlog2015x.
(3)y=x·tanx.
【解析】(1)y′=
=
=.
(2)y′=(2x)′cosx+(cosx)′2x-3
=2xln2·cosx-sinx·2x-3
=2xln2·cosx-2xsinx-3log2015x-3log2015e
=2xln2·cosx-2xsinx-3log2015(ex).
(3)y′=(xtanx)′=′
=
=
=
==.
10.求过点(1,-1)与曲线y=x3-2x相切的直线方程.
【解题指南】由于(1,- 1)不一定是切点,所以先设切点坐标,求出切线方程,利用切点在切线上,求出切点坐标进而求出切线方程.
【解析】设P(x0,y0)为切点,y′=3x2-2,
则切线斜率为k=3-2.
故切线方程为y-y0=(3-2)(x-x0). ①
因为(x0,y0)在曲线上,所以y0=-2x0. ②
又因为(1,-1)在切线上,
所以将②式和(1,-1)代入①式得
-1-(-2x0)=(3-2)(1-x0).
解得x0=1或x0=-.
当x0=1时,k=1,当x0=-时,k=-.
故所求的切线方程为
y+1=x-1或y+1=-(x-1).
即x-y-2=0或5x+4y-1=0.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·西安高二检测)设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f′(x),且
f′(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为
( )
A.ln2 B.-ln2 C. D.-
【解析】选A.因为f′(x)=ex-ae-x为奇函数,所以a=1,设切点横坐标为x0,则
f′(x0)=-=,因为>0,所以=2,所以x0=ln2.
【补偿训练】若函数f(x)=exsinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为 ( )
A. B.0 C.钝角 D.锐角
【解析】选C.y′=exsinx+excosx,
当x=4时,y′=e4(sin4+cos4)
=e4sin<0,
故倾斜角为钝角.
2.(2015·聊城高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,
fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2015(x)= ( )
A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx
【解析】选D.f1 (x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,f5(x)=(sinx)′=f1(x),f6(x)=f2(x),…,
fn+4(x)=fn(x),可知周期为4.2015=4×503+3,所以f2015(x)=f3(x)= -cosx.
【延伸探究】若将“f0(x)=sinx”改为“f0(x)=sinx+cosx,其他条件不变,则f2015(x)=________.
【解析】f1(x)=f0′(x)=cosx-sinx,f2(x)=(cosx-sinx)′=-sinx-cosx,
f3(x)=-cosx+sinx,f4(x)=sinx+cosx,以此类推,可得出fn(x)=fn+4(x).
2015=4×503+3,所以f2015(x)=f3(x)=-cosx+sinx.
答案:-cosx+sinx
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·天津高考)已知函数f=axlnx,x∈,其中a为实数,f′为f的导函数,若f′=3,则a的值为______.
【解析】因为f′=a,
所以f′=a=3.
答案:3
4.(2015·衡阳高二检测)若函数f(x)=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.
【解析】垂直于y轴的切线,其切线的斜率为0,
因为f(x)=x2-ax+lnx,
所以f′(x)=x-a+.
设切点横坐标为x0(x0>0),
则有x0-a+=0,
a=x0+≥2.
答案:a≥2
【补偿训练】(2015·沈阳高二检测)已知函数f(x)=x2·f′(2)+5x,则
f′(2)=________.
【解析】因为f′(x)=f′(2)·2x+5,
所以f′(2)=f′(2)×2×2+5,
所以3f′(2)=-5,
所以f′(2)=-.
答案:-
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.函数f(x)=x3-x2-x+1的图象上有两点A(0,1)和B(1,0),在区间(0,1)内求实数a,使得函数f(x)的图象在x=a处的切线平行于直线AB.
【解题指南】可先由A,B两点的坐标求AB的斜率,再求f(x)=x3-x2-x+1在x=a处切线的斜率,令其相等,即可求出a的值.
【解析】直线AB的斜率kAB=-1,f′(x)=3x2-2x-1,令f′(a)=-1(0
(1)试求曲线C在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)试求与直线y=5x+3平行的曲线C的切线方程.
【解析】(1)因为f(x)=x3-x,
所以f(1)=13-1=0,
即切点坐标为(1,0),
又f′(x)=3x2-1.
所以,切线的斜率k=f′(1)=3×12-1=2.
故切线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.
(2)设切点坐标为(x0,-x0),
又f′(x)=3x2-1,
所以切线的斜率k=3-1.
又切线与直线y=5x+3平行,
所以3-1=5,
解得=2,
切点为或,
故切线方程为:y-=5(x-)或y+=5(x+),
即:5x-y-4=0或5x-y+4=0.
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