学业分层测评
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知a,b为非零实数,则使不等式:+≤-2成立的一个充分而不必要条件是( )
A.a·b>0 B.a·b<0
C.a>0,b<0 D.a>0,b>0
【解析】 ∵+≤-2,∴≤-2.
∵a2+b2>0,
∴ab<0,则a,b异号,故选C.
【答案】 C
2.平面内有四边形ABCD和点O,+=+,则四边形ABCD为( )
A.菱形 B.梯形
C.矩形 D.平行四边形
【解析】 ∵+=+,
∴-=-,
∴=,
∴四边形ABCD为平行四边形.
【答案】 D
3.若实数a,b满足0【导学号:19220019】
A. B.a2+b2
C.2ab D.a
【解析】 ∵a+b=1,a+b>2,
∴2ab<.
而a2+b2>=,
又∵0∴a<,∴a2+b2最大,故选B.
【答案】 B
4.A,B为△ABC的内角,A>B是sin A>sin B的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 若A>B,则a>b,
又=,∴sin A>sin B;
若sin A>sin B,则由正弦定理得a>b,
∴A>B.
【答案】 C
5.若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( )
A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥α
B.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β
C.若m⊥β,m∥α,则α⊥β
D.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ
【解析】 对于A,m与α不一定垂直,所以A不正确;对于B,α与β可以为相交平面;对于C,由面面垂直的判定定理可判断α⊥β;对于D,β与γ不一定垂直.
【答案】 C
二、填空题
6.设e1,e2是两个不共线的向量,=2e1+ke2,=e1+3e2,若A,B,C三点共线,则k=________.
【解析】 若A,B,C三点共线,则=λ,即2e1+ke2=λ(e1+3e2)=λe1+3λe2,
∴
∴
【答案】 6
7.设a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系为________.
【解析】 ∵a2-c2=2-(8-4)=->0,∴a>c,
又∵==>1,∴c>b,∴a>c>b.
【答案】 a>c>b
8.已知三个不等式:①ab>0;②>;③bc>ad.以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可能组成________个正确的命题.
【解析】 对不等式②作等价变形:>⇔>0.于是,若ab>0,bc>ad,则>0,故①③⇒②.若ab>0,>0,则bc>ad,故①②⇒③.若bc>ad,>0,则ab>0,故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题.
【答案】 3
三、解答题
9.如图223,四棱锥PABCD的底面是平行四边形,E,F分别为AB,CD的中点,求证:AF∥平面PEC.
图223
【证明】 ∵四棱锥PABCD的底面是平行四边形,
∴AB綊CD.
又∵E,F分别为AB,CD的中点,
∴CF綊AE.
∴四边形AECF为平行四边形.
∴AF∥EC.
又AF⊄平面PEC,EC⊂平面PEC,
∴AF∥平面PEC.
10.(2016·临沂高二检测)在△ABC中,三个内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c也成等差数列.求证:△ABC为等边三角形.
【证明】 由A,B,C成等差数列知,B=,由余弦定理知b2=a2+c2-ac,
又a,b,c也成等差数列,∴b=,
代入上式得=a2+c2-ac,
整理得3(a-c)2=0,∴a=c,从而A=C,
而B=,则A=B=C=,
从而△ABC为等边三角形.
[能力提升]
1.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,则+的最大值为( )
A.2 B.
C.1 D.
【解析】 ∵ax=by=3,x=loga3,y=logb3,
∴+=log3(ab)≤log32=1.故选C.
【答案】 C
2.(2016·西安高二检测)在△ABC中,tan A·tan B>1,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
【解析】 因为tan A·tan B>1,
所以角A,角B只能都是锐角,
所以tan A>0,tan B>0,1-tan A·tan B<0,
所以tan(A+B)=<0.
所以A+B是钝角,即角C为锐角.
【答案】 A
3.若0【导学号:19220020】
【解析】 由0且a≠b,得a+b>2,a2+b2>2ab.
又a>a2,b>b2,
知a+b>a2+b2,从而a+b最大.
【答案】 a+b
4.(2016·泰安高二检测)如图224所示,M是抛物线y2=x上的一点,动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点,且MA=MB.若M为定点,求证:直线EF的斜率为定值.
图224
【证明】 设M(y,y0),直线ME的斜率为k(k>0),
∵MA=MB,∴∠MAB=∠MBA,
∴直线MF的斜率为-k,
∴直线ME的方程为y-y0=k(x-y).
由消去x得ky2-y+y0(1-ky0)=0.
解得yE=,∴xE=.
同理可得yF=,∴xF=.
∴kEF===
=-(定值).
∴直线EF的斜率为定值.