第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥3 ＝3 ＝3＝3，当且仅当xy＝x2，即x＝1时，等号成立．
答案：C
2．若a＞b＞0，则a＋的最小值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：因为a＋＝(a－b)＋b＋≥
3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，
所以a＋的最小值为3.
答案：D
3．设x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg x＋lg z的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]
C．lg 6，＋∞) D．3lg 2，＋∞)
解析：因为lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，
而xyz≤＝23，
所以lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．
答案：B
4．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( )
A．3 B．2 C．12 D． 12
解析：2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3＝12.
当且仅当x＝2y＝3z＝2时等号成立．
答案：C
5．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是( )
A. B. C. D.
解析：当logxy＝－2，得x－2＝y，即x2y＝1，且x＞0，y＞0，
x＋y＝x＋x＋y≥3 ＝.
当且仅当x＝y时等号成立．
答案：A
二、填空题
6．已知正数a，b满足ab2＝1，则a＋b的最小值是________．
解析：因为a，b是正数，ab2＝1，
所以a＋b＝a＋＋≥3 ＝.
故a＋b的最小值是，
当且仅当即时取到最小值．
答案：
7．函数f(x)＝x(5－2x)2的最大值是________．
解析：f(x)＝×4x(5－2x)(5－2x)≤
＝，
当且仅当4x＝5－2x，即x＝时，等号成立．
故函数f(x)＝x(5－2x)2的最大值为.
答案：
8．设x，y，z＞0且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值是_________．
解析：因为6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6，
所以x2y3z≤1，当且仅当＝y＝4z，
即x＝2，y＝1，z＝时，等号成立．
所以x2y3z取得最大值1.
答案：1
三、解答题
9．θ为锐角，求y＝sin θ·cos2θ的最大值．
解：y2＝sin2θcos2θcos2θ＝·2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)≤＝.
当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sin θ＝时取等号．
所以ymax＝.
10．已知a，b，c为正数，求证：
(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.
证明：因为a，b，c为正数，
所以a＋b＋c≥3，a2＋b2＋c2≥3
所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥3·3＝9.
所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc，
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
B级 能力提升
1．若数列{an}的通项公式是an＝，则该数列中的最大项是( )
A．第4项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
解析：an＝＝＝
因为n2＋＋≥3 ＝48，
当且仅当n2＝，即n＝4时，等号成立，
所以an≤，该数列的最大项是第4项．
答案：A
2．函数y＝4sin2x·cos x的最大值为__________，最小值为________．
解析：因为y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8＝8×＝，
所以y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tan x＝±时取等号．
所以ymax＝，ymin＝－.
答案： －
3．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥，如图所示．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为x m，则1＜x＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为＝，于是底面正六边形的面积为6××()2＝(8＋2x－x2)，
帐篷的体积为V(x)＝(8＋2x－x2)·＝(4－x)(x＋2)(x＋2)＝(8－2x)(x＋2)(x＋2)≤＝16.
当且仅当8－2x＝x＋2，即x＝2时取等号．
即当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为2 m时帐篷的体积最大．