高中数学必修5配套练习 正弦定理和余弦定理 第1课时

第一章　1.1　第1课时
一、选择题
1．(2013·北京文，5)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)
A．　 B．
C． D．1
[答案]　B
[解析]　本题考查了正弦定理，由＝知＝，即sinB＝，选B.
2．在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b.若2asinB＝b，则角A等于(　　)
A． B．
C．　 D．
[答案]　D
[解析]　由正弦定理得2sinAsinB＝sinB，∴sinA＝，∴A＝.
3．在△ABC中，下列关系式中一定成立的是(　　)
A．a>bsinA B．a＝bsinA
C．a[答案]　D
[解析]　由正弦定理，得＝，∴a＝，
在△ABC中，04．△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是(　　)
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
[答案]　B
[解析]　∵b＝30，c＝15，C＝26°，
∴c>bsinC，又c5．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则sinA＝(　　)
A． B．
C．　 D．
[答案]　A
[解析]　由已知，得＝×2××sinA，
∴sinA＝.
6．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)
A．x>2 B．x<2
C．2[答案]　C
[解析]　由题设条件可知
，∴2二、填空题
7．已知△ABC外接圆半径是2 cm，∠A＝60°，则BC边长为__________．
[答案]　2cm
[解析]　∵＝2R，
∴BC＝2RsinA＝4sin60°＝2(cm)．
8．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边．若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝2，则c＝______.
[答案]　2
[解析]　C＝180°－105°－45°＝30°.
根据正弦定理＝可知
＝，解得c＝2.
三、解答题
9．根据下列条件，解三角形．
(1)△ABC中，已知b＝，B＝60°，c＝1；
(2)△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2.
[解析]　(1)由正弦定理，得sinC＝·sinB＝×＝.
∴C＝30°或C＝150°.
∵A＋B＋C＝180°，故C＝150°不合题意，舍去．
∴A＝90°，a＝＝2.
(2)由正弦定理，得sinC＝＝＝.
∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1.
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，
C＝120°.
10．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
[解析]　∵A、B、C是三角形的内角，
∴A＝π－(B＋C)，
∴sinA＝sin(B＋C)
＝sinBcosC＋cosBsinC
＝2sinBcosC．
∴sinBcosC－cosBsinC＝0，
∴sin(B－C)＝0，
又∵0∴－π又∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，
∴△ABC是等腰直角三角形.
一、选择题
1．在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为(　　)
A． B．
C．　 D．
[答案]　D
[解析]　c＝ ＝，B＝105°，
sin105°＝sin(60°＋45°)
＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝，
∴S△ABC＝acsinB＝.
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C．若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝(　　)
A．－ B．
C． －1　 D． 1
[答案]　D
[解析]　∵acosA＝bsinB，
∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，
∴sinAcosA＋cos2B＝1.
3．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则∠B＝(　　)
A． B．
C．　 D．
[答案]　A
[解析]　本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．
由正弦定理可得sinB(sinAcosC＋sinCcosA)＝sinB，∵sinB≠0，∴sin(A＋C)＝，∴sinB＝，由a>b知A>B，∴B＝.选A．
4．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
[答案]　C
[解析]　∵k1＝－，k2＝，∴k1·k2＝－1，
∴两直线垂直．
二、填空题
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．
[答案]　
[解析]　sinB＋cosB＝sin＝，
∴sin(B＋)＝1，∵0∴又∵＝，∴sinA＝，
∵a6．在△ABC中，若＝＝，则△ABC一定是________三角形．
[答案]　等边
[解析]　由正弦定理得，＝＝，
∴sin＝sin＝sin，
∵0∴＝＝，∴A＝B＝C．故△ABC为等边三角形．
三、解答题
7．在△ABC中，cosA＝－，cosB＝.
(1)求sinC的值；
(2)设BC＝5，求△ABC的面积．
[解析]　(1)在△ABC中，由cosA＝－，cosB＝得，sinA＝，sinB＝.
∴sinC＝sin(A＋B)
＝sinAcosB＋cosAsinB
＝×＋(－)×
＝.
(2)根据正弦定理，
AB＝＝＝，
∴△ABC的面积S＝AB·BC·sinB＝××5×＝.
8．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A．
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
[解析]　(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以＝，故cosA＝.
(2)由(1)知cosA＝，
所以sinA＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝，
在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)
＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
所以c＝＝5.