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[学业达标]
一、选择题
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A.＋1 B．2＋1
C．2 D．2＋2
【解析】 由已知及正弦定理，得＝，
∴b＝＝＝2.
【答案】 C
2．在△ABC中，∠A＝60°，a＝4，b＝4，则∠B等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
【解析】 ∵sin B＝＝＝，
∴∠B＝45°或135°.
但当∠B＝135°时，不符合题意，
所以∠B＝45°，故选C.
【答案】 C
3．若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( )
A．1∶2∶3 B．1∶∶2
C．2∶∶1 D．∶1∶2
【解析】 设三角形内角∠A、∠B、∠C分别为x,2x,3x，
则x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°.
由正弦定理＝＝，
可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，
∴a∶b∶c＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°
＝∶∶1＝1∶∶2.
【答案】 B
4．在△ABC中，若3b＝2asin B，cos A＝cos C，则△ABC形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 由正弦定理知b＝2R·sin B，a＝2R·sin A，
则3b＝2a·sin B可化为：
3sin B＝2sin A·sin B.
∵0°<∠B<180°，
∴sin B≠0，
∴sin A＝，
∴∠A＝60°或120°，
又cos A＝cos C，
∴∠A＝∠C，
∴∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
【答案】 C
二、填空题
5．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
【解析】 由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理＝得b＝＝＝.
【答案】
6．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
【解析】 在△ABC中，∵sin B＝，0
∴A＝π－－＝π.
∵＝，∴b＝＝1.
【答案】 1
7．在△ABC中，若a＝2bsin A，则B＝________.
【解析】 由正弦定理得sin A＝2sin B·sin A，
∵sin A≠0，∴sin B＝.
又0
【答案】 60°或120°
三、解答题
8．在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状. 【导学号：05920059】
【解】 令＝k，
由正弦定理得a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.
代入已知条件，得＝＝，
即tan A＝tan B＝tan C.
又A，B，C∈(0，π)，
∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．
9．在△ABC中，∠A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其它边与角的大小．
【解】 由正弦定理得＝，
即b＝＝＝.
由于∠A＝60°，则∠B<120°，
又sin B＝，
∴∠B＝30°，则∠C＝90°，则c＝＝2.
[能力提升]
1．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为( )
A. B. C．1 D．
【解析】 ∵＝，∴＝.
∵3a＝2b，∴＝.
∴＝.
∴＝22－1＝2×2－1
＝－1＝.
【答案】 D
2．在△ABC中，下列关系中一定成立的是( )
A．a>bsin A B．a＝bsin A
C．a
3．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝，B＝，________，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A＝.(试在横线上将条件补充完整)
【解析】 分两种情况：(1)若破损处的条件为边b的长度，则由＝，得b＝＝＝；(2)若破损处的条件为边c的长度，由A＋B＋C＝π，B＝，A＝，知C＝，再运用正弦定理，得c＝.
【答案】 b＝或c＝
4．已知方程x2－bcos Ax＋acos B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，∠A、∠B为a、b的对角，试判断△ABC的形状．
【解】 设方程的两根为x1，x2，由根与系数关系得x1＋x2＝bcos A，x1x2＝acos B，由题意得bcos A＝acos B.
由正弦定理得2Rsin Bcos A＝2Rsin Acos B.
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0.
在△ABC中，0<∠A<π，0<∠B<π，－π<∠A－∠B<π.
∴∠A－∠B＝0即∠A＝∠B，∴△ABC为等腰三角形.