课时跟踪检测(十一) 双曲线的参数方程 抛物线的参数方
一、选择题
1．曲线(t为参数)的焦点坐标是( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
解析：选B 将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，
该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，
所以焦点为(0,1)．
2．圆锥曲线(θ是参数)的焦点坐标是( )
A．(－5,0) B．(5,0)
C．(±5,0) D．(0，±5)
解析：选C 由(θ为参数)得 －＝1，
∴它的焦点坐标为(±5,0)．
3．方程(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支 B．双曲线右支
C．双曲线上支 D．双曲线下支
解析：选B ∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.
且x＝et＋e－t≥2＝2.
∴表示双曲线的右支．
4．点Μ0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )
A．1 B．2 C. D．3
解析：选C ∵双曲线方程为x2－y2＝1，∴a＝b＝1.
∴双曲线的参数方程为(θ为参数)．
设双曲线上一动点为Μ(sec θ，tan θ)，
则2＝sec2θ＋(tan θ－2)2
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)
＝2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3.
当tan θ＝1时，2取最小值3，
此时有＝.
二、填空题
5．已知动圆方程x2＋y2－xsin 2θ＋2y·sin＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．
解析：圆心轨迹的参数方程为
即消去参数，得
y2＝1＋2x.
答案：y2＝1＋2x
6．双曲线(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
解析：将参数方程化为y2－＝1，
此时a＝1，b＝，
设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±＝±.
∴α＝30°或150°.
答案：30°或150°
7．(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由(t为参数)得y＝，
又由(θ为参数)得x2＋y2＝2.
由得
即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题
8．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．
解：由题意可知O1(0,2)，∵Q为双曲线x2－y2＝1上一点，设Q(sec θ，tan θ)，
在△O1QP中，|O1P|＝1，|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|.
又|O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)
＝2tan2θ－4tan θ＋5
＝2(tan θ－1)2＋3.
∴当tan θ＝1，即θ＝时，|O1Q|2取最小值3，此时有|O1Q|min＝.
∴|PQ|min＝－1.
9．已知双曲线方程为x2－y2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．
证明：设d1为点Μ到渐近线y＝x的距离，d2为点Μ到渐近线y＝－x的距离，
因为点Μ在双曲线x2－y2＝1上，则可设点Μ的坐标为(sec α，tan α)．
d1＝，d2＝，
d1d2＝＝，
故d1与d2的乘积是常数．
10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
解：法一：设抛物线的参数方程为(t为参数)，可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，
则kMN＝＝.
又设MN的中点为P(x，y)，
则∴kAP＝，
由kMN＝kAP知t1t2＝－，又
则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)．
∴所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由M，N在抛物线y2＝8x上知
两式相减得y－y＝8(x1－x2)，即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，
∴＝.设线段MN的中点为P(x，y)，∴y1＋y2＝2y.
由kPA＝，又kMN＝＝＝，
∴＝.∴y2＝4(x－1)．
∴线段MN的中点P的轨迹方程为y2＝4(x－1)．