高中数学必修5配套练习 等差数列的前n项和 第1课时

第二章　2.3　第1课时
一、选择题
1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝(　　)
A．－6 B．－4
C．－2 D．2
[答案]　A
[解析]　本题考查数列的基础知识和运算能力．
⇒⇒.
∴a9＝a1＋8d＝－6.
2．四个数成等差数列，S4＝32，a2a3＝13，则公差d等于(　　)
A．8　　 B．16
C．4　　 D．0
[答案]　A
[解析]　∵a2a3＝13，∴＝，∴d＝－2a1.
又S4＝4a1＋d＝－8a1＝32，∴a1＝－4，
∴d＝8.
3．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝14.记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则S13＝(　　)
A．168 B．156
C．152 D．286
[答案]　D
[解析]　∵，∴，
∴，∴S13＝13a1＋d＝286.
4．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前100项的和为(　　)
A．0 B．4475
C．8950 D．10 000
[答案]　C
[解析]　设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，{cn}是等差数列，∴前100项和S100＝＝＝8950.
5．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
[答案]　C
[解析]　设等差数列为{an}，公差为d，
则，
∴5d＝15，∴d＝3.
6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，
则＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．
[答案]　A
[解析]　＝＝×＝1，故选A．
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.
[答案]　－
[解析]　∵an＝－5n＋2，
∴an－1＝－5n＋7(n≥2)，
∴an－an－1＝－5n＋2－(－5n＋7)＝－5(n≥2)．
∴数列{an}是首项为－3，公差为－5的等差数列．
∴Sn＝＝＝－.
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.
[答案]　24
[解析]　∵S9＝＝72，
∴a1＋a9＝16，即a1＋a1＋8d＝16，
∴a1＋4d＝8，
又a2＋a4＋a9＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋8d
＝3(a1＋4d)＝3×8＝24.
三、解答题
9．已知等差数列{an}．
(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和D．
[解析]　(1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.
又Sn＝na1＋·d＝－5，
解得n＝15，n＝－4(舍)．
(2)由已知，得S8＝＝，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
10．设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝242，求n的值．
[解析]　(1)设公差为d，
则a20－a10＝10d＝20，
∴d＝2.
∴a10＝a1＋9d＝a1＋18＝30，
∴a1＝12.
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋2(n－1)＝2n＋10.
(2)Sn＝＝
＝n2＋11n＝242，
∴n2＋11n－242＝0，
∴n＝11.
一、选择题
1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是(　　)
A．S7 B．S8
C．S13 D．S15
[答案]　C
[解析]　∵a2＋a4＋a15＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为常数，∴S13＝＝13a7为常数．
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于(　　)
A．12 B．18
C．24 D．42
[答案]　C
[解析]　∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，
∴2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，
∴2(10－2)＝2＋S6－10，∴S6＝24.
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)
A．　 B．
C． D．
[答案]　A
[解析]　据等差数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列．
设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k，
∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，
∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，
∴＝＝.
4．(2013·新课标Ⅰ理，7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)
A．3　　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
[答案]　C
[解析]　本题考查数列的前n项和Sn与通项an的关系及等差数列的定义．
Sm－Sm－1＝am＝2，Sm＋1－Sm＝am＋1＝3，
∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.
Sm＝a1m＋·1＝0， ①
am＝a1＋(m－1)·1＝2，
∴a1＝3－m. ②
②代入①得3m－m2＋－＝0，
∴m＝0(舍去)，m＝5，故选C．
二、填空题
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A、B、C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝________.
[答案]　100
[解析]　∵＝a1＋a200，且A、B、C三点共线，
∴a1＋a200＝1，
∴S200＝＝100.
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则S3等于________．
[答案]　14
[解析]　对于Sn＝2an－2，当n＝1时，有a1＝2a1－2，解得a1＝2；当n＝2时，有S2＝2a2－2，即a1＋a2＝2a2－2，所以a2＝a1＋2＝4；当n＝3时，有S3＝2a3－2，即a1＋a2＋a3＝2a3－2，所以a3＝a2＋a1＋2，又a1＝2，a2＝4，则a3＝8，所以S3＝2a3－2＝14.
三、解答题
7．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则
Sn＝na1＋D．
由已知得
①×10－②整理得d＝－，代入①得，a1＝，
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝110
＝－110.
8．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}的前n项和，求数列{}的前n项和Tn.
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，则
Sn＝na1＋n(n－1)D．
∵S7＝7，S15＝75，∴，即，
解得a1＝－2，d＝1.
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列{}是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n2－n.