高中数学选修4-1学业分层测评10 与圆有关的比例线段 Word版含解析

学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图2­5­17，⊙O的两条弦AB与CD相交于点E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，则BE＝(　　)
图2­5­17
A．1　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
【解析】　由相交弦定理得AE·EB＝DE·EC，即2EB＝4×1，∴BE＝2.
【答案】　B
2．PT切⊙O于T，割线PAB经过点O交⊙O于A，B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
【解析】　如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得
PT2＝PA·PB，即42＝2×PB，
∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，
∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，
∴cos∠BPT＝＝.
【答案】　A
3．如图2­5­18，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O的半径为(　　)
图2­5­18
A．5.5 B．5
C．6 D．6.5
【解析】　由相交弦定理知AP·BP＝CP·PD，
∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，
∴PD＝＝＝8，
∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半径为5.5.
【答案】　A
4．如图2­5­19，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以BC上一点O为圆心作⊙O与AC，AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为(　　) 【导学号：07370047】
图2­5­19
A．1　　 B.　　
C.　　 D.
【解析】　观察图形，AC与⊙O切于点C，AB与⊙O切于点E，则AB＝＝5.
如图，连接OE，由切线长定理得AE＝AC＝4，
故BE＝AB－AE＝5－4＝1.
根据切割线定理得BD·BC＝BE2，
即3BD＝1，故BD＝.
【答案】　C
5.如图2­5­20，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：
图2­5­20
①AD＋AE＝AB＋BC＋AC；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.
其中正确结论的序号是(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【解析】　①项，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正确；
②项，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF·AG＝AD·AE，故②正确；
③项，延长AD于M，连接FD，∵AD与圆O切于点D，则∠GDM＝∠GFD，
∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，则△AFB与△ADG不相似，故③错误，故选A.
【答案】　A
二、填空题
6．如图2­5­21，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线交于D，过点C作BD的平行线与圆交于点E，与AB交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则CD＝________.
图2­5­21
【解析】　因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，由CE∥BD，得＝，所以＝，即BD＝.设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝，所以x＝.
【答案】　
7．如图2­5­22，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.
图2­5­22
【解析】　由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a.
根据切割线定理有PA2＝PD·P B.又PA＝3，PB＝25a，
∴9＝9a·25a，∴a＝，∴PD＝，PB＝5.
在Rt△PAB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4.
【答案】　　4
8．如图2­5­23所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．
图2­5­23
【解析】　设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，
∴PB＝PA＋AB＝3.
延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.
设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.
由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，
∴1×3＝(3－r)(3＋r)，
∴9－r2＝3，∴r＝.
【答案】　
三、解答题
9．(2016·山西四校联考)如图2­5­24所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.
图2­5­24
(1)求证：＝；
(2)求AD·AE的值．
【解】　(1)证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P为公共角，
△PAB∽△PCA，∴＝.
(2)∵PA为圆O的切线，PC是过点O的割线，
∴PA2＝PB·PC，∴PC＝20，BC＝15.
又∵∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225.
又由(1)知＝＝，∴AC＝6，AB＝3，连接EC，则∠CAE＝∠EAB，∠AEC＝∠ABD.
∴△ACE∽△ADB，∴＝.
∴AD·AE＝AB·AC＝3×6＝90.
10．如图2­5­25，已知PA，PB切⊙O于A，B两点，PO＝4cm，∠APB＝60°，求阴影部分的周长．
图2­5­25
【解】　如图所示，连接OA，O B.
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝，
∠APO＝∠APB＝，
在Rt△PAO中，
AP＝PO·cos＝4×＝2 (cm)，
OA＝PO＝2 (cm)，PB＝2 (cm)．
∵∠APO＝，∠PAO＝∠PBO＝，∴∠AOB＝，
∴l＝∠AOB·R＝×2＝π(cm)，
∴阴影部分的周长为
PA＋PB＋l＝2＋2＋π＝(cm)．
[能力提升]
1．如图2­5­26，已知PT切⊙O于点T，TC是⊙O的直径，割线PBA交TC于点D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，则PB等于(　　)
【导学号：07370048】
图2­5­26
A．20　　 B．10
C．5 D．8
【解析】　∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，
由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，
即DT＝＝＝6.
因为TC为⊙O的直径，所以PT⊥DT.
设PB＝x，
则在Rt△PDT中，
PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.
由切割线定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，
所以(4＋x)2－36＝x(x＋7)，
解得x＝20，即PB＝20.
【答案】　A
2．如图2­5­27，△ABC中，∠C＝90°，⊙O的直径CE在BC上，且与AB相切于D点，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，则BE等于(　　)
图2­5­27
A. B．2
C．2 D．1
【解析】　连接OD，
则OD⊥BD，
∴Rt△BOD∽Rt△BAC，
∴＝.
设⊙O的半径为a，
∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC，
∴BE＝EC＝2a.
由题知AD，AC均为⊙O的切线，AD＝2，
∴AC＝2.
∴＝，∴BD＝2a2.
又BD2＝BE·BC，
∴BD2＝2a·4a＝8a2，
∴4a4＝8a2，∴a＝，
∴BE＝2a＝2.
【答案】　B
3．如图2­5­28，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝4，则圆O的半径长为__________，∠EFD的度数为__________．
图2­5­28
【解析】　由切割线定理得，
PD2＝PE·PF，
∴PE＝＝＝4，EF＝8，OD＝4.
∵OD⊥PD，OD＝PO，
∴∠P＝30°，∠POD＝60°，
∴∠EFD＝30°.
【答案】　4　30°
4．如图2­5­29，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.
图2­5­29
(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
(2)若OA＝CE，求∠ACB的大小．
【解】　(1)证明：如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.
连接OE，则∠OBE＝∠OEB.
又∠ACB＋∠ABC＝90°，
所以∠DEC＋∠OEB＝90°，
故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线．
(2)设CE＝1，AE＝x.
由已知得AB＝2，BE＝.
由射影定理可得AE2＝CE·BE，
即x2＝，即x4＋x2－12＝0，
解得x＝，所以∠ACB＝60°.