第四讲 数学归纳法证明不等式
4.2 用数学归纳法证明不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
解析：由题意n≥3知应验证n＝3.
答案：C
2．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n，(n∈N＋，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( )
A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.故选C.
答案：C
3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)成立，其初始值至少应取( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解析：左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.
答案：B
4．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋≥(n∈N*)”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是( )
A.
B.＋
C.＋－
D.＋－－
解析：当n＝k时，不等式为
＋＋…＋≥.
当n＝k＋1时，
左边＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＋.
比较n＝k与n＝k＋1的左边，
可知应添加的项为＋－.
答案：C
5．若不等式＋＋…＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为( )
A．12 B．13
C．14 D．不存在
解析：令f(n)＝＋＋…＋，取n＝2，3，4，5等值发现f(n)是单调递减的，所以f(n)]max＞，
所以由f(2)＞，求得m的值．故应选B.
答案：B
二、填空题
6．设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n＞_______．
解析：由贝努利不等式知(1＋x)n＞1＋nx.
答案：1＋nx
7．设通过一点的k个平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成f(k)个部分，则k＋1个平面将空间分成f(k＋1)＝f(k)＋________个部分．
答案：2k
8．在应用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边增加的项是________．
解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当n＝k时，尾项的分母为(k＋1)2，n＝k＋1时尾项的分母为(k＋2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，…，(n＋1)这些数都是连续相差1时．因此，从n＝k到n＝k＋1只增加了一项，即(k∈N＋)．
答案：
三、解答题
9．求证：1＋＋＋…＋≥.
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，左式＝右式．
当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝＝，＞，
左边＞右边．
故当n＝1或n＝2时，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，有1＋＋＋…＋≥.
则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋…＋≥＋＝.
因为－＝＞0，
所以＞＝右边．
由不等式的传递性可得：左边＞右边．
故当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)(2)知，对一切n∈N*原不等式都成立．
10．设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a.
求证：对于任意的n∈N*，都有1＜an＜.
证明：(1)当n＝1时，a1＞1，又a1＝1＋a＜，显然命题成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立．
即1＜ak＜.
当n＝k＋1(k∈N＋)时，由递推公式可知ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1.
同时ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜.
所以当n＝k＋1(k∈N＋)时，命题也成立，
即1＜ak＋1＜.
由(1)(2)可知对于任意的n∈N＋，都有1＜an＜.
B级 能力提升
1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了( )
A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
解析：1＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，共增加了2k项．
答案：D
2．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1·an＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项an＝________．
解析：可用两种方法求解．
法一：分别令n＝1，2，3求出a2＝，a3＝，通过不完全归纳法知，an＝.
法二：对已知等式因式分解得(n＋1)an＋1－nan]·(an＋1＋an)＝0.由an＞0知＝，再由累乘法求得an＝.
答案：
3．设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．
(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；
(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n＋1对所有n∈N＋成立？证明你的结论．
解：法一：a2＝2，a3＝＋1.
再由题设条件知(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.
从而{ (an－1)2}是首项为0公差为1的等差数列，
故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1(n∈N*)．
法二：a2＝2，a3＝＋1.
可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.
因此猜想an＝＋1.
下用数学归纳法证明上式：
当n＝1时结论显然成立．
假设n＝k时结论成立，即ak＝＋1，
则ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1.
这就是说，当n＝k＋1时结论成立．
所以an＝＋1(n∈N*)．
(2)设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an)．
令c＝f(c)，则c＝－1，解得c＝.
下用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n＋1＜1.
当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝－1，
所以a2＜＜a2＜1，结论成立．
假设n＝k时结论成立，即a2k＜c＜a2k＋1＜1.
易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，
从而c＝f(c)＞f(a2k＋1)＞f(1)＝a2，
即1＞c＞a2k＋1＞a2.
再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c＝f(c)＜f(a2k＋2)＜f(a2)＝a3＜1.
故c＜a2k＋3＜1，因此a2(k＋1)＋1＜1.
这就是说，当n＝k＋1时结论成立．
综上，符合条件的c存在，其中一个值为c＝.