高中数学必修5配套练习 应用举例 第2课时

第一章　1.2　第2课时
一、选择题
1．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳个场馆B、C的俯角分别为α、β，此时气球的高度为h，则两个场馆B、C间的距离为(　　)
A． B．
C．　 D．
[答案]　B
[解析]　在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝.
2．某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长(　　)
A．100m　　　　　 B．100m
C．50(＋)m D．200m
[答案]　A
[解析]　如图，由条件知，
AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)
＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)
＝25(＋)，
CD＝100cos75°＝25(－)，
BD＝＝＝25(3＋)．
∴BC＝BD－CD＝25(3＋)－25(－)
＝100(m)．
3．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为(　　)
A．10m B．20m
C．20m D．40m
[答案]　D
[解析]　设AB＝xm，则BC＝xm，BD＝xm，在△BCD中，由余弦定理，得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，
∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)．
4．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是(　　)
A．min B．h
C．21.5min D．2.15h
[答案]　A
[解析]　当时间t<2.5h时，如图．
∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.
在△BCD中，利用余弦定理，得
CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.
当t＝＝(h)，即min时，CD2最小，即CD最小为.
当t≥2.5h时，CF＝15×，CF2＝>CD2，
故距离最近时，t<2.5h，即t＝min.
5．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距(　　)
A．10m B．100m
C．20m D．30m
[答案]　D
[解析]　设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝900，
∴BC＝30.
6．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　)
A．500m B．200m
C．1 000m D．1 000m
[答案]　D
[解析]　∵∠SAB＝45°－30°＝15°，
∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，
在△ABS中，AB＝＝
＝1 000，
∴BC＝AB·sin45°＝1 000×＝1 000(m)．
二、填空题
7．某海岛周围38n mile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁危险(填“有”或“无”)．
[答案]　无
[解析]　如图所示，由题意在△ABC中，AB＝30，
∠BAC＝30°，
∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，
由正弦定理，得BC＝＝＝＝15(＋)．
在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)>38.
∴此船无触礁的危险．
8．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是a n mile/h，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？
[答案]　北偏东30°
[解析]　如图，设经过t h两船在C点相遇，
则在△ABC中，
BC＝at，AC＝at，B＝180°－60°＝120°，
由＝，
得sin∠CAB＝＝＝.
∵0°<∠CAB<90°，
∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.
即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
三、解答题
9．如图所示，两点C、D与烟囱底部在同一水平直线上，在点C1、D1，利用高为1.5 m的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝60°，C、D间的距离是12 m，计算烟囱的高AB.(精确到0.01 m)
[解析]　在△BC1D1中，∠BD1C1＝120°，∠C1BD1＝15°.由正弦定理＝，
∴BC1＝＝18＋6，∴A1B＝BC1＝18＋6，则AB＝A1B＋AA1≈29.89(m)．
10．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
[解析]　设缉私船用t小时在D处追上走私船．在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos120°＝6，∴BC＝.
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠ABC＝sin∠BAC＝，
∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．
∴∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得
＝，
∴＝，
∴sin∠BCD＝，∴∠BCD＝30°.
故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船.
一、选择题
1．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10 000m到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为(　　)
A．2 500(－1)m B．5 000m
C．4 000m D．4 000m
[答案]　A
[解析]　示意图如图，∠BAC＝30°，∠DBC＝75°，
∴∠ACB＝45°，AB＝10 000.
由正弦定理，得＝，又cos75°＝，
∴BD＝·cos75°＝2 500(－1)(m)．
2．渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)(　　)
A．14.5km/h B．15.6km/h
C．13.5km/h D．11.3km/h
[答案]　C
[解析]　由物理学知识，
画出示意图，如图．AB＝15，AD＝4，
∠BAD＝120°.在▱ABCD中，D＝60°，
在△ADC中，由余弦定理，得
AC＝
＝＝≈13.5(km/h)．
故选C．
3．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为(　　)
A．20m B．30m
C．40m D．60m
[答案]　C
[解析]　设O为塔顶在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20，
在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，
∴AB＝OA－OB＝40.
4.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　　)
A．15m B．20m
C．25m D．30m
[答案]　D
[解析]　设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得
cos∠PBA＝，①
cos∠PBC＝.②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，
即建筑物的高度为30m.
二、填空题
5．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10m树根部为C(A、B、C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.
[答案]　30°
[解析]　如图，AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10，
∵∠DBC＝30°，∴BC＝10，
cos∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°.
6．(2014·新课标Ⅰ文，16)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m .
[答案]　150m
[解析]　本题考查解三角形中的应用举例．
如图，
在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，
∴AC＝100.
在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，
∴∠AMC＝45°.
由正弦定理知＝，
∴AM＝100.
在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，
∴MN＝AM·sin60°＝100×＝150(m)．
三、解答题
7.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12n mile，渔船乙以10n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sinα的值．
[解析]　(1)在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BAC＝α.
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.
解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为＝14n mile/h.
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝.
即sinα＝＝＝.
8．据气象台预报，在S岛正东距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响．
问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．
[分析]　设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化．S岛是否受台风影响可转化为SB≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过th到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB.
[解析]　如图，设台风中心经过th到达B点，由题意：
∠SAB＝90°－30°＝60°，
在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，
由余弦定理得：
SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB
＝3002＋(30t)2－2·300·30tcos60°.
若S岛受到台风影响，则应满足条件
|SB|≤270即SB2≤2702，
化简整理得t2－10t＋19≤0，
解之得5－≤t≤5＋，
所以从现在起，经过(5－)h S岛开始受到影响，(5＋)小时后影响结束，持续时间：
(5＋)－(5－)＝2(h)．
答：S岛从现在起经过(5－)h受到台风影响，且持续时间为2h.