高中数学必修4：习题课（四） Word版含解析

习题课(四)
一、选择题
1．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－，则cos2α＝(　　)
A. B．－
C．－ D.
答案：A
解析：因为cosα＋sinα＝－，α∈(0，π)，所以sin2α＝－，cosα<0，且α∈，所以2α∈，所以cos2α＝＝.故选A.
2．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin(2β＋7π)＝(　　)
A. B．－
C．－ D.
答案：B
解析：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sinβ＝，∴sinβ＝－.又β是第三象限角，∴cosβ＝－，∴sin(2β＋7π)＝－sin2β＝－2sinβcosβ＝－2××＝－.
3．已知角α，β均为锐角，且cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ＝(　　)
A. B.
C. D．3
答案：D
解析：由于α，β均为锐角，cosα＝，则sinα＝，tanα＝.又tan(α－β)＝－，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.故选D.
4．函数f(x)＝cos2x＋sin2x＋2(x∈R)的值域是(　　)
A．[2,3] B.
C．[1,4] D．[2,4]
答案：A
解析：因为f(x)＝cos2x＋sin2x＋2＝3－2sin2x＋sin2x＝3－sin2x，sinx∈[－1,1]，所以f(x)∈[2,3]．故选A.
5．已知tanα，tanβ是方程x2＋3 x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β等于(　　)
A. B．－
C.或－ D．－或
答案：B
解析：由题意，得tanα＋tanβ＝－3 ，tanαtanβ＝4，∴tanα<0且tanβ<0.又∵α，β∈，∴α，β∈(－，0)．tan(α＋β)＝＝＝，又知α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.
6．化简的结果是(　　)
A．－cos1 B．cos1
C.cos1 D．－cos1
答案：C
解析：原式＝＝＝cos1.
二、填空题
7．已知sin＝，则sin2x＝________.
答案：－
解析：∵sin＝，∴sinx＋cosx＝，两边平方，得1＋sin2x＝，∴sin2x＝－.
8．已知cos＋cos＝，且α∈，则sin＝________.
答案：
解析：因为cos＋cos＝，所以cos＋sinα＝，所以cosα＋sinα＋sinα＝，所以＝，得sin＝.因为α∈，故α＋∈，所以cos＝，所以sin＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.
9．已知θ为第二象限角，tan2θ＝－2，则＝________.
答案：3＋2
解析：∵tan2θ＝＝－2，∴tanθ＝－或tanθ＝.∵＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，∴tanθ<0，∴tanθ＝－，
＝＝＝＝＝3＋2.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)求f(0)的值；
(2)设α、β∈， f(3α＋)＝， f(3β＋2π)＝，求sin(α＋β)的值．
解：(1)f(0)＝2sin＝－2sin＝－1.
(2)f＝2sin＝2sinα＝，∴sinα＝.
又α∈，∴cosα＝.
同理f(3β＋2π)＝2sin
＝2sin＝2cosβ＝，
∴cosβ＝，又β∈，∴sinβ＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝×＋×＝.
11．已知α是第一象限的角，且cosα＝，
求的值．
解：＝
＝＝·.
由已知可得sinα＝，
∴原式＝×＝－.
　　能力提升
12．向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，a与b的夹角为60°，则直线xcosα－ysinα＝与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．随α、β的值而定
答案：B
解析：cos60°＝＝
＝cos(α－β)＝.
圆心(cosβ，－sinβ)到直线xcosα－ysinα＝的距离为＝0，
所以圆心在直线上，圆与直线相交．
13．已知向量m＝(sinx,1－cosx)，n＝(1－sinx，cosx)，函数f(x)＝m·n＋.
(1)求函数f(x)的零点；
(2)若f(α)＝，且α∈，求cosα的值．
解：(1)f(x)＝m·n＋＝sinx－sin2x＋cosx－cos2x＋＝sinx＋cosx＝2sin.
由2sin＝0，得x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝kπ－(k∈Z)，
所以函数f(x)的零点为x＝kπ－(k∈Z)．
(2)由(1)，知f(α)＝2sin＝，所以sin＝，
因为α∈，所以<α＋<，
则cos＝－，
所以cosα＝cos＝
coscos＋sinsin＝－×＋×＝.