高二下册数学1.5定积分的概念第1课时

1.5.1　曲边梯形的面积
【学情分析】：
本节教材是在学生学习导数及其在研究函数的应用的基础上，开始初步探究定积分的概念。学生对这个解决问题的思想方法和步骤还是很生疏,必须深入浅出,逐步渗透.
【教学目标】：
（1）知识与技能：定积分概念的引入
（2）过程与方法：“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立
（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。
【教学重点】：
了解定积分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤。
【教学难点】：
“以直代曲”“逼近”思想的形成过程；求和符号∑。
【教学过程设计】：
一、创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？
这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）
二、新课讲授
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？
例1：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？
（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．

把区间分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．
解：
（1）．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为：
分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
，，…，，显然，
（2）近似代替
记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积为
==
==
从而得到的近似值
（4）取极限
分别将区间等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有
从数值上的变化趋势：

三、求曲边梯形面积的四个步骤:
第一步：分割．将分为等份，每份区间长为
第二步：近似代替，“以直代取”：，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积.
第三步：求和：
第四步：取极限：
说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近
2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值
四、练习．
求围成图形面积
解：1．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为：
分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
，，…，， 显然，
（2）近似代替
∵，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积为
==
=
=
从而得到的近似值
（4）取极限

练习
设S表示由曲线，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。
五：课堂小结
求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和逼近 （“以直代曲”的思想）