高二数学精品教案 离散型随机变量与分布列，分布函数及其基本性质，常见的几种离散型分布（选修2-3）

第 五 次课  2学时
 本次教学重点：
离散型随机变量与分布列，分布函数及其基本性质，常见的几种离散型分布
 本次教学难点：
随机变量的分布函数
本次教学内容：
第二章 随机变量及其分布函数
第1节随机变量的直观意义与定义
一、随机变量概念的引入
为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.
1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示. 如在“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件的概率，若记ξ=n重贝努里试验中A出现的次数，则上述“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件可以简记为（ξ=k）,从而有
P(ξ=k)=    q=1-p        
并且ξ的所有可能取值就是事件A可能出现的次数0，1，2，……n
2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.
例如抛掷一枚均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面，约定
若试验结果出现正面, 令η=1, 从而{试验结果出现正面}=（η=1）；
若试验结果出现反面, 令η=0, 从而{试验结果出现反面}=（η=0）。
为了计算n次投掷中出现正面数就只需计算其中“1”出现的次数了。
一般地，若A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系
在上面的例子中，我们遇到了两个随机变量ξ，η，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不确定的，因为它的取值依赖于试验的结果，也就是说它的取值是随机的，通常称这种量为随机变量。从上面例子可以发现，有了随机变量，至少使随机事件的表达在形式上简洁得多了。
在上述前两个例子中，对每一个随机试验的结果自然地对应着一个实数，而在后两个例子中，这种对应关系是人为地建立起来，由此可见，无论哪一种性质，所谓随机变量，不过是随机试验的结果（即样本点）和实数之间的一一对应关系
二、随机变量的定义
定义  设是一概率空间，对于是一个取实值得函数；若对于任一实数是一随机事件，亦即，则称为随机变量.
为书写方便，简写为，事件记为
通常用希腊字母或大写字母X,Y,Z等表示随机变量
随机变量与高等数学中函数的比较:
(1) 它们都是实值函数, 只不过在函数概念中，f(x)的自变量x为实数，而随机变量的概念中，随机变量ξ（ω）的自变量为样本点ω，因为对每个试验结果ω都有函数ξ（ω）与之对应，所以ξ（ω）的定义域是样本空间，值域是实数域。但随机变量在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值;
(2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.
例1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数为随机变量，的可能取值为0，1，2……
例2：某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量,的可能取值为。
例3：考察某一地区全年的温度的变化情况，则某一地区的温度为随机变量，的可能取值为  。
例4：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用一个二维坐标（）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。
三．随机变量的分类
从随机变量的取值情况来看，若随机变量的可能取值只要有限个或可列个则该随机变量为离散型随机变量，不是离散型随机变量统称为非离散型随机变量，若随机变量的取值是连续的，称为连续型随机变量，它是非离散型随机变量的特殊情形。
从随机变量的个数来分，随机变量可分为一维随机变量和多维随机变量，
（一）一维随机变量及分布列
1．定义
定义2：定义在样本空间上，取值于实数域R，且只取有限个或可列个值的变量称为一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量。
讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个方面：一是随机变量的所有可能取值；更主要的的是搞清楚随机变量取这些可能值的概率。
例5：设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任取两球，则取到的黑球数为随机变量,的可能取值为0，1，2。
习惯上，把它们写成
0
1
2
2、分布律
    如果离散型随机变可能取值为 相应的取值的概率 称
                        
为随机变量的分布列，也称为分布律，简称分布。
    也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律：
或                  
例6：在n=5的贝努里试验中，设随机事件A在一次试验中出现的概率p，令 =5次试验中事件A出现的次数。则
  k=0,1,2,3,4,5
于是的分布列为
0      1        2          3         4       5
           
3、分布列的性质
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列  都具有下述性质：
非负性：1）
规范性：2）
    反过来，任意一个具有以上性质的数列都可以看成某一个随机变量的分布列。
分布列不仅明确地给出了的概率，而且对于任意的实数a<b,事件{}发生的概率均可由分布列算出，因为{}
于是由概率的可列可加性有 P{}  , 其中
 
由此可知，取各种值的概率都可以由它的分布列，通过计算而得到，这种事实常常说成是，分布列全面地描述离散型随机变量。
例7：设随机变量的分布列为：,求常数c的值。
    解：
    由分布列的性质即  
例8：一个口袋中有n只球，其中m只白球，无放回地连续地取球，每次取一球，直到取到黑球时为止，设此时取出了个白球，求的分布列。
解：的可能取值为0，1，2，3……m
注意：表示第i次取出白球，第i+1 次取出黑球，
4、几种常用分布
1）、    退化分布
设的分布列为P(=a)=1 (a为常数)，则称服从退化分布；
2）、    两点分布
设的分布列为
    1
   0
    p
q
称 服从两点分布或0—1分布或贝努里分布。
3）.二项分布
 a.设随机变量的分布列为
        P(ξ=k)=    q=1-p        k=0.1.2…n
显然   1）            k=0.1.2….n
2)  
称随机变量服从二项分布认为～b(k;n，p)
大家可以发现二点分布是二项分布在n=1的情形。
b.二项分布的分布形态
由此可知，二项分布的分布
先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着k 的增大而减少．这个使得
易得：
例9 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？
解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli试验．令
则由题意
则可能命中次数是132,  概率为：
4）.几何分布
    在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，
设试验进行到第次才出现成功。的分布列为
                                    k=1.2…
（k=1.2…）是几何级数的一般项。因此称它为几何分布记为～g(k;p)。
几何分布的特性---无记忆性
所谓无记忆性，是指几何分布对过去的m次“失败”信息在后面的计算中被遗忘了
5）.普哇松（Poisson）分布
    观察电信局在单位时间内收到的呼唤次数，某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数等。可用相应的变量表示，实践表明 的统计规律近似地为
        k=0.1.2…
其中>0是某个常数，易验证
1）P（）>0      k=0.1.2…
2）==1
也就是说，若的分布列为      k=0.1.2…（>0）
称服从参数为的普哇松（Poisson）分布，记为～p(k; )
在很多实践问题中的随机变量都可以用Poisson 分布来描述。从而使得Poisson分布对于概率论来说，有着重要的作用，而概率论理论的研究又表明Poisson分布在理论上也具有特殊重要的地位。
下面介绍Poisson分布与二项分布之间的关系
Th2.1（Poisson定理）在n 重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为（与试验总数n有关）。若当时（>0常数）。则有
          k=0.1.2…
这个定理在近似计算方面有较大的作用，在二项分布中，要计算b(k;n,p)=，当n和k都比较大时。计算量比较大，若此时np不太大（即p较小）那么由Poisson定理就有b(k;n,p) 其中，而要计算用的Poisson分布表可查。
例10.已知某中疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率为多大？
解：设该单位患这种疾病的人数为 .则  ～
其中b(k;5000,1/1000)=
这时如果直接计算计算量较大。由于n很大。P较小。而np=5不很大。可以利用Poisson定理
查Poisson分布表得
于是
例11．由该商店过去的销售记录知道，某中商品每月销售数可以用参数的Poisson分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？
解：设该商店每月销售某种商品件，月底的进货为a件
则当时就不会脱销。因而按题意要求为
                  
又
查Poisson分布表得    
      
于是这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上月没有存货）就可以以95%的把握保证这种商品在下个月不会脱销。 
二、分布函数及其基本性质
我们研究了离散型随机变量，在那里随机变量只取有限个或可列个值，这当然有很大的局限性。在许多随机现象中出现的一些变量，如“测量某地的气温”，“某型号显象管的寿命”“某省高考体检时每个考生的身高、体重”等，它们的取值是可以充满某个区间或区域的（也就不会只取有限个或可列个值），对于这样的随机变量，如何描述它们的统计规律呢？
我们首先引入分布函数的概念。
（一）、分布函数的概念
1、定义：设为一随机变量，令
称是随机变量的概率分布函数，简称为分布函数或分布。
分布函数实质上就是事件的概率。
2、分布函数的性质
  由概率的性质可知：
1）非负性：
2）单调性： 若则
3）若  
   进一步
4）极限性：
证：因为，所以
都存在，又由概率的完全可加性有
所以必有
即  
5）左连续性：
证：因为是单调有界函数，其任一点的左极限必存在，为证明其左连续性，只要对某一列单调上升的数列
证明：成立即可。这时，有
由此可得
2）、4）、5）是分布函数的三个基本性质，反过来还可以证明，任一个满足这三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数。因此，满足这三个性质的函数通常都称为分布函数。
知道了随机变量的分布函数，不仅掌握了的概率，而且还可以计算下述概率：
   
   
由此可以看出，上述这些事件的概率都可以由算出来，因此全面地描述了随机变量的统计规律。既然分布函数能够全面地描述一般的随机变量的统计规律，因而分布函数这个概念比分布列更重要。不过，对离散型随机变量来说，用的较多的还是分布列，那是因为它比较方便的缘故。
三、离散型随机变量的分布函数
设为一个离散型随机变量，它的分布列为
 
 
则的分布函数为
对离散型随机变量，用得较多的还是分布列。
例1若服从退化分布，即有，则的分布函数为
例2若服从两点分布
1       0
P       q
求的分布函数F（x）。
解：  当
当时，
当时，
例3 设的分布列为
0       1      2
0.3    0.4    0.3
求的分布函数。
解：  当
当时，
     当时，
当
于是
可以看到，是一阶梯状的左连续函数，在处有跳跃，其跃度为在处的概率。
例4、设是参数为的普哇松分布的随机变量，即
求的分布函数。
解：
由此，是一阶梯状的左连续函数，在处有跳跃，其跃度为在处的概率。
例5、等可能的向区间上投掷质点，求质点坐标的分布函数。
解：设为任一实数，当时，显然有
当时，由几何概型可知
当
从而
例6、设随机变量的分布函数为
求1）常数；2）。
解：1）由极限性  得 从而解
于是
2）
例6．设随机变量的分布函数为
，  
求：1）常数A；2）落在[-1，1/2]上的概率。
解：1）左连续
，
故
于是
2）
由例5，例6可知求分布函数中的待定常数，主要是利用分布函数的极限性及左连续性。
作业布置：P165 T1，5
第 六 次 课 2学时
本次教学重点：
连续型随机变量及其密度函数函数的分布，连续型随机变量常见的几种分布，
 本次教学难点：
已知密度函数求随机变量的分布函数
本次教学内容：
第二章 随机变量及其分布
第1节随机变量的直观意义与定义
（三）、连续型随机变量及其密度函数
1、定义
定义  如果对随机变量的分布函数,存在非负可积函数,使得对于任意实数有
则称为连续型随机变量, 称为的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数.
2、密度函数的性质
由分布函数的性质，可验证任一连续型随机变量的密度函数必具备下列性质：
1).非负性：
2).规范性：
反之，如果一个函数具有上述性质，那么该函数一定可以作为某连续型随机变量的密度函数.
密度函数除了具有上述两条特征性质外，还有如下一些重要性质：
3）连续型随机变量的分布函数在R上连续，且在的连续点处，有。对连续型随机变量，分布函数和密度函数可以相互确定，因此密度函数也完全刻画了连
续型随机变量的分布规律。
4）设为连续型随机变量，则对任意实数，有
这表明连续型随机变量取单点值的概率为0，这与离散型随机变量有本质的区别，顺便指出并不意味着是不可能事件。
5）对任意，则