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  • 高二下册数学2.1 合情推理与演绎推理(三)

    2021-02-19 高二下册数学人教版

    2.1 合情推理与演绎推理(三)
    【学情分析】:
    合情推理(归纳推理和类比推理)的可靠性有待检验,在这种情形下,提出演绎推理就显得水到渠成了.通过演绎推理的学习,让学生对推理有了全新的认识,培养其言之有理、论证有据的习惯,加深对数学思维方法的认识.
    【教学目标】:
    (1)知识与技能:
    了解演绎推理的含义、基本方法;正确地运用演绎推理、进行简单的推理.
    (2)过程与方法:
    体会运用“三段论”证明问题的方法、规范格式.
    (3)情感态度与价值观:
    培养学生言之有理、论证有据的习惯;加深对数学思维方法的认识;提高学生的数学思维能力.
    【教学重点】:
    正确地运用演绎推理进行简单的推理.
    【教学难点】:
    正确运用“三段论”证明问题.
    【教学过程设计】:
    教学环节
    教 学 活 动
    设计意图
    一、复习:
    合情推理
    归纳推理:从特殊到一般
    类比推理:从特殊到特殊
    从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳.类比――提出猜想.
    复习旧知识
    二、
    问题情境
    观察与思考:(学生活动)
    1.所有的金属都能导电,
    铜是金属,
    所以,铜能够导电.
    2.一切奇数都不能被2整除,
    (2100+1)是奇数,
    所以,(2100+1)不能被2整除.
    3.三角函数都是周期函数,
    tan是三角函数,
    所以,tan是周期函数.
    提出问题:像这样的推理是合情推理吗?如果不是,它与合情推理有何不同(从推理形式上分析)?
    创设问题情景,引入新知
    三、
    学生活动
    1.所有的金属都能导电 ←————大前提
    铜是金属, ←-----小前提
    所以,铜能够导电 ←――结论
    2.一切奇数都不能被2整除 ←————大前提
    (2100+1)是奇数,←――小前提
    所以,(2100+1)不能被2整除。 ←―――结论
    3.三角函数都是周期函数, ←——大前提
    tan是三角函数, ←――小前提
    所以,tan是周期函数。←――结论
    学生探索,
    发现问题,
    总结特征
    四、
    建构数学——概念形成
    演绎推理的定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理(或逻辑推理).
    构建新知,
    概念形成
    注:
    1.演绎推理是由一般到特殊的推理.(与合情推理的区别)
    2.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
    (1)大前提——已知的一般原理;
    (2)小前提——所研究的特殊情况;
    (3)结论——据一般原理,对特殊情况做出的判断.
    三段论的基本格式:
    大前提:M是P
    小前提:S是M
    结 论:S是P
    3.用集合的观点来理解“三段论”推理:
    若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
    巩固新知,
    加强认识
    五、
    数学运用
    例1、把P78中的问题(2)、(5)恢复成完全三段论的形式.
    解:(2)因为太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,(大前提)
    而冥王星是太阳系的大行星, (小前提)
    因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行. (结论)
    (5)∵两直线平行,同旁内角互补, (大前提)
    而∠A 、∠B是两条直线的同旁内角, (小前提)
    ∴∠A+∠B=180°. (结论)
    例2、如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC, D,E是垂足,求证:AB的中点M到D、E的距离相等.
    解:(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,——大前提
    在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°,————小前提
    所以△ABD是直角三角形————结论.
    (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,————大前提
    而DM是直角三角形ABD斜边AB上的中线,——小前提
    所以DM=AB.————结论
    同理EM=AB.
    所以DM=EM.
    注:在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的.
    思考:分析下面的推理:
    因为指数函数是增函数,————大前提
    而是指数函数,————小前提
    所以是增函数. ————结论
    (1)上面的推理形式正确吗?(2)推理的结论正确吗?
    提示:推理形式正确,但大前提是错误的(因为指数函数(0<a<1=是减函数=,所以所得的结论是错误的.
    例3、证明函数在上是增函数.
    板演:证明方法(定义法、导数法) → 指出:大前题、小前题、结论.
    1.运用新知;
    2.板书解题详细步骤,规范学生的解题格式.
    通过错例分析,加深理解
    六、
    小结与反思
    1.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
    (1)大前提——已知的一般原理;
    (2)小前提——所研究的特殊情况;
    (3)结论——据一般原理,对特殊情况做出的判断.
    三段论的基本格式为:
    大前提:M是P
    小前提:S是M
    结 论:S是P
    2.合情推理与演绎推理的区别和联系:
    (1)推理形式不同(归纳是由特殊到一般的推理;类比是由特殊到特殊的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理);
    (2)合情推理为演绎推理提供方向和思路;演绎推理验证合情推理的正确性.
    对比分析,
    提高认识
    【练习与测试】:
    1.下面的推理过程中,划线部分是( ).
    因为指数函数是减函数,而是指数函数,所以是减函数.
    A.大前提 B.小前提 C.结论 D.以上都不是
    2.小偷对警察作如下解释:是我的录象机,我就能打开它.看,我把它打开了,所以它是我的录象机.请问这一推理错在哪里?( )
    A.大前提 B.小前提 C.结论 D.以上都不是
    3.因为相似三角形面积相等,而△ABC与△A1B1C1面积相等,所以△ABC与△A1B1C1相似.上述推理显然不对,这是因为( ).
    A.大前提错误 B.小前提错误 C.结论错误 D.推理形式错误
    4.请判断下面的证明,发生错误的是( ).
    ∵一个平面内的一条直线和另一个平面内的两条直线平行,则着两个平面平行,
    又∵直线平面,直线平面,直线平面,且∥,
    ∴∥.
    A.大前提错误 B.小前提错误 C.结论错误 D.以上都错误
    5.函数为奇函数,,则( ).
    A.0 B.1 C. D.5
    6.下面给出一段证明:
    ∵直线平面,
    又∵∥,
    ∴∥.
    这段证明的大前提是 .
    7.如图,下面给出一段“三段论”式的证明,写出这段证明的大前提和结论.
    ∵ .(大前提)
    又∵PA⊥BC,AB⊥BC,PA∩AB=A. (小前提)
    ∴ .(结论)
    8.用“三段论”证明:通项公式为的数列是等差数列.
    9.用“三段论”证明:在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,则AB=DC.
    10.将课本第89页例6的证明改成用“三段论”书写.
    11.证明函数f(x)=-x2+2x在[1,+∞]上是减函数.
    12.设a>0,b>0,a+b=1,求证:.
    参考答案
    1~5:BADAC
    6.两个平行平面中一个平面的任意一条直线平行于另一个平面
    7.如果一条直线和某一平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线就和该平面垂直; BC⊥平面PAB
    8.证:如果数列满足:(常数),那么数列是等差数列 (大前提)
    ∵数列中有(常数), (小前提)
    ∴通项公式为的数列是等差数列. (结论)
    9.证:过点D作DE∥AB,交BC于点E.
    ∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (大前提)
    又∵四边形ABED中DE∥AB,AD∥BE, (小前提)
    ∴四边形ABED是平行四边形. (结论)
    ∵平行四边形的对边相等. (大前提)
    又∵四边形ABED是平行四边形, (小前提)
    ∴AB=DE. (结论)
    ∵两直线平行,同位角相等. (大前提)
    又∵AB∥DE, (小前提)
    ∴∠DEC=∠B. (结论)
    ∵两个角若分别和第三个角相等,那么这两个角相等. (大前提)
    又∵∠B=∠C,∠DEC=∠B (小前提)
    ∴∠DEC=∠C. (结论)
    ∵三角形中等角对等边. (大前提)
    又∵△DEC中有∠DEC=∠C, (小前提)
    ∴DE=DC. (结论)
    ∵两条线段若分别和第三条相等,那么这两线段相等. (大前提)
    又∵AB=DE,DE=DC (小前提)
    ∴AB=DC. (结论)
    10.证:函数若满足:在给定区间内任取自变量的两个值x1、x2,若x1<x2,则有
    <,则在该给定区间内是增函数. (大前提)
    任取x1、x2∈(-∞,1],且x1<x2,则
    f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(-x22+2x2)=(x2-x1)(x1+x2-2)
    又∵x1<x2≤1,∴x2-x1>0,x1+x2<2,即x1+x2-2<0,
    ∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(2-(x1+x2))<0,即f(x1) <f(x2) . (小前提)
    ∴函数f(x)=-x2+2x在[1,+∞]上是减函数. (结论)
    11.证:任取x1、x2∈[1,+∞],且x1<x2,则
    f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(-x22+2x2)=(x1-x2)(2-(x1+x2))
    又∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2>2,即2-(x1+x2)<0,
    ∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(2-(x1+x2))>0,即f(x1)>f(x2) .
    ∴函数f(x)=-x2+2x在[1,+∞]上是减函数.
    12.证:∵a+b=1,且a>0,b>0,

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