2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
整体设计
教学分析
向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错.尤其是定理的前提条件:向量a是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系.
三维目标
1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数与向量积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律.
2.理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.
3.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用.
重点难点
教学重点:1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用.
教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算.
思路2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课.
推进新课
新知探究
提出问题
①已知非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).
②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗?
③引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？
活动:引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图来进行.通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特别注意0·a=0,而不是0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存在,稍不注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如λ+a,λ-a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形式:(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.
对问题①,学生通过作图1可发现,=++=a+a+a.类似数的乘法,可把a+a+a记作3a,即=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.同样,由图1可知,
图1
==(-a)+(-a)+(-a),
即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a.
对问题②,上述过程推广后即为实数与向量的积.
我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.
由(1)可知,λ=0时,λa=0.
根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律.
实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
对问题③,向量共线的等价条件是:如果a(a≠0)与b共线,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.推证过程教师可引导学生自己完成,推证过程如下:对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由向量数乘的定义,知a与b共线.反过来,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa.
关于向量共线的条件,教师要点拨学生做进一步深层探究,让学生思考,若去掉a≠0这一条件,上述条件成立吗?其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量的情况下,共线向量可能有以下几种情况:(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.
讨论结果:①数与向量的积仍是一个向量,向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定,大小由|λ|·|a|确定.
②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.
③向量的平行与直线的平行是不同的,直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;而向量的平行既包含没有交点的情况,又包含两个向量在同一条直线上的情形.
应用示例
思路1
例1 计算:
(1)(-3)×4a;
(2)3(a+b)-2(a-b)-a;
(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).
活动:本例是数乘运算的简单应用,可让学生自己完成,要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律.教学中,点拨学生不能将本题看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点.同时向学生点出,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a、b,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
解:(1)原式=(-3×4)a=-12a;
(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;
(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.
点评:运用向量运算的运算律,解决向量的数乘.其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”.
变式训练
若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.
解:因3m+2n=a, ①
m-3n=b. ②
3×②得3m-9n=3b. ③
①-③得11n=a-3b.
∴n=a-b. ④
将④代入②,有m=b+3n=a+b.
点评:此题可把已知条件看作向量m、n的方程,通过方程组的求解获得m、n.在此题求解过程中,利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律,从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
图2
例2 如图2,已知任意两个非零向量a、b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?
活动:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a、b变化过程中,A、B、C三点始终在同一条直线上的规律.
图3
解:如图3分别作向量、过点A、C作直线AC.观察发现,不论向量a、b怎样变化,点B始终在直线上,猜想A、B、C三点共线.
事实上,因为=-=a+2b-(a+b)=b,
而=-=a+3b-(a+b)=2b,
于是=2.
所以A、B、C三点共线.
点评:关于三点共线问题,学生接触较多,这里是用向量证明三点共线,方法是必须先证明两个向量共线,并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思,体会向量证法的新颖独特.
例3 如图4, ABCD的两条对角线相交于点M,且=a,=b,你能用a、b表示和吗?
图4
活动:本例的解答要用到平行四边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点.
解:在ABCD中,
∵=+=a+b,=-=a-b,
又∵平行四边形的两条对角线互相平分,
∴==(a+b)=a-b,
==(a-b)=a-b,
==a+b,
==-=-a+b.
点评:结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则,将两个向量的和或差表示出来,这是解决这类几何题的关键.
思路2
例1 凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F,求证:=(+).
活动:教师引导学生探究,能否构造三角形,使EF作为三角形中位线,借助于三角形中位线定理解决,或创造相同起点,以建立向量间关系.鼓励学生多角度观察思考问题.
图5
解:方法一:过点C在平面内作=,
则四边形ABGC是平行四边形,
故F为AG中点.(如图5)
∴EF是△ADG的中位线.
∴EFDG.
∴=.
而=+=+,
∴=(+).
方法二:如图6,连接EB、EC,则有=+,=+,
图6
又∵E是AD之中点,
∴有+=0,
即有+=+.
以与为邻边作EBGC,则由F是BC之中点,可得F也是EG之中点.
∴==(+)=(+).
点评:向量的运算主要从以下几个方面加强练习:(1)加强数形结合思想的训练,画出草图帮助解决问题;(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习,做到准确熟练运用.
例2 已知和是不共线向量=t(t∈R),试用、表示.
活动:教师引导学生思考,由=t(t∈R)知A、B、P三点共线,而=+,然后以表示,进而建立,的联系.本题可让学生自己解决,教师适时点拨.
解:=+=+t·=+t·(-)=(1-t)·+t·.
点评:灵活运用向量共线的条件.若令1-t=m,t=n,则=m·+n·,m+n=1.
变式训练
1.设两个不共线的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2,向量b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d=λa+μb与向量c共线？
解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d与c共线,则存在实数k使d=kc,
即(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2=2ke1-9ke2.
由2λ+2μ=2k及3μ-3λ=-9k得λ=-2μ.
故存在这样的实数λ和μ,只要λ=-2μ就能使d与c共线.
2.(2007浙江高考),7 若非零向量a、b满足|a+b|=|b|,则( )
A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b| C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b|
答案:C
3.(2007全国高考),5 在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于( )
A. B. C.- D.-
答案:A
知能训练
本节练习
解答:
1.图略.
2.=,=.
点评:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案.值得注意的是与反向.
3.(1)b=2a;(2)b=a;(3)b=-a;(4)b=a.
4.(1)共线;(2)共线.
5.(1)3a-2a;(2)a+a;(3)2ya.
6.图略.
课堂小结
1.让学生回顾本节学习的数学知识:向量的数乘运算法则,向量的数乘运算律,向量共线的条件,体会本节学习中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜想、类比,分类讨论,等价转化.
2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我们提高思想性的有效手段,在今后的学习中应予以充分的重视,它是我们学习中伟大的引路人.
作业
课本习题2.2 A组题11、12.
设计感想
1.本教案的设计流程符合新课程理念,充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动,引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题.先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地0·a=0),它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小,当λ>0时,λa与a方向相同,当λ<0时,λa与a方向相反;向量共线定理用来判断两个向量是否共线.然后对所探究的结果进行运用拓展.
2.向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现,因而成为中学数学知识网络的一个交汇点,由此可看出在中学数学教材中的地位的重要,也成为近几年各地高考命题的重点和热点,教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理.