课时跟踪检测(六) 圆周角定理
一、选择题
1．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是( )
A．40° B．25° C．50° D．60°
解析：选A 连接OB.因为∠A＝50°，所以BC弦所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝90°－50°＝40°.所以∠OCD＝40°.
2．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠BCD＝25°，则下列结论错误的是( )
A．AE＝BE B．OE＝DE C．∠AOD＝50° D．D是的中点
解析：选B 因为CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
所以＝，AE＝BE.
因为∠BCD＝25°，
所以∠AOD＝2∠BCD＝50°，
故A、C、D项结论正确，选B.
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则此三角形外接圆的半径为( )
A. B．2 C．2 D．4
解析：选B 由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝＝4，故外接圆半径r＝AB＝2.
4．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD＝3，AB＝4，则tan ∠BPD等于( )
A. B. C. D.
解析：选D 连接BD，则∠BDP＝90°.
∵△CPD∽△APB，∴＝＝.
在Rt△BPD中，cos ∠BPD＝＝，
∴tan ∠BPD＝.
二、填空题
5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝________.
解析：AB是⊙O的直径，所以弧ACB的度数为180 °，它所对的圆周角为90°，所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－∠ADC＝90°－68°＝22°.
答案：22°
6．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为______．
解析：如图，连接AB，AC，
由A，E为半圆周上的三等分点，
得∠FBD＝30°，∠ABD＝60°，
∠ACB＝30°.
由BC＝4，
得AB＝2，AD＝，BD＝1，
则DF＝，故AF＝.
答案：
7．如图所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于点D，若AD＝4，则AE＝________.
解析：连接CE，则∠AEC＝∠ABC.
又△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACE，
∴＝，
∴AE＝＝9.
答案：9
三、解答题
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C.
(1)求证：CB∥MD；
(2)若BC＝4，sin M＝，求⊙O的直径．
解：(1)证明：因为∠C与∠M是同一弧所对的圆周角，
所以∠C＝∠M.
又∠1＝∠C，所以∠1＝∠M，
所以CB∥MD(内错角相等，两直线平行)．
(2)由sin M＝知，sin C＝，
所以＝，BN＝×4＝.
由射影定理得：BC2＝BN·AB，则AB＝6.
所以⊙O的直径为6.
9.如图，已知△ABC内接于圆，D为的中点，连接AD交BC于点E.
求证：(1)＝；
(2)AB·AC＝AE2＋EB·EC.
证明：(1)连接CD.
∵∠1＝∠3，∠4＝∠5，
∴△ABE∽△CDE.∴＝.
(2)连接BD.
∵＝，
∴AE·DE＝BE·EC.
∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE
＝AE(AE＋DE)＝AE·AD.①
在△ABD与△AEC中，∵D为的中点，
∴∠1＝∠2.
又∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，
∴△ABD∽△AEC.∴＝，
即AB·AC＝AD·AE②
由①②知：AB·AC＝AE2＋EB·EC.
10.如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连接BD，DC.
(1)求证：BD＝DC＝DI；
(2)若⊙O的半径为10 cm，∠BAC＝120°，求△BCD的面积．
解：(1)证明：因为AI平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠DAC，
所以＝，所以BD＝DC.
因为BI平分∠ABC，所以∠ABI＝∠CBI，
因为∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，
所以∠BAD＝∠DBC.
又因为∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，
∠DIB＝∠ABI＋∠BAD，
所以∠DBI＝∠DIB，所以△BDI为等腰三角形，
所以BD＝ID，所以BD＝DC＝DI.
(2)当∠BAC＝120°时，
△ABC为钝角三角形，
所以圆心O在△ABC外．
连接OB，OD，OC，
则∠DOC＝∠BOD＝2∠BAD
＝120°，
所以∠DBC＝∠DCB＝60°，
所以△BDC为正三角形．
所以OB是∠DBC的平分线．
延长CO交BD于点E，则OE⊥BD，
所以BE＝BD.
又因为OB＝10，
所以BC＝BD＝2OBcos 30°＝2×10×＝10，
所以CE＝BC·sin 60°＝10×＝15，
所以S△BCD＝BD·CE＝×10×15＝75.
所以△BCD的面积为75.