阶段质量检测(二) A卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是( )
A．42° B．138° C．84° D．42°或138°
答案：D
2.如图，在⊙O中，弦AB长等于半径，E为BA延长线上一点，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数是( )
A．60° B．50°
C．45° D．30°
解析：选B ∠BCD＝∠DAE＝80°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝30°.∴∠ACD＝80°－30°＝50°.
3．如图所示，在半径为2 cm的⊙O内有长为2 cm的弦AB.则此弦所对的圆心角∠AOB为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
解析：选C 作OC⊥AB于C，则BC＝，
在Rt△BOC中，cos ∠B＝＝.
∴∠B＝30°.
∴∠BOC＝60°.∴∠AOB＝120°.
4.如图，已知⊙O的半径为5，两弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，则圆心到弦CD的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 过O作OH⊥CD，连接OD，
则DH＝CD.
由相交弦定理知，
AE·BE＝CE·DE.
设CE＝4x，则DE＝9x，
∴4×4＝4x×9x，解得x＝，
∴OH＝＝ ＝.
5.如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，且PB＝BC，PA＝3，那么BC的长为( )
A. B．2 C．3 D．3
解析：选C 根据切割线定理PA2＝PB·PC，
所以(3)2＝2PB2.所以PB＝3＝BC.
6．两个同心圆的半径分别为3 cm和6 cm，作大圆的弦MN＝6 cm，则MN与小圆的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
解析：选A 作OA⊥MN于A.连接OM.
则MA＝MN＝3.
在Rt△OMA中，
OA＝＝3 cm.
∴MN与小圆相切．
7.如图，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，连接AB，CD，下面结论：
①PA·PC＝PD·PB；
②PC·CA＝PB·BD；
③CE·CD＝BE·BA；
④PA·CD＝PD·AB.
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选A 根据割线定理及相交弦定理知只有①式正确．
8．已知⊙O的两条弦AB，CD交于点P，若PA＝8 cm，PB＝18 cm，则CD的长的最小值为( )
A．25 cm B．24 cm C．20 cm D．12 cm
解析：选B 设CD＝a cm，CD被P分成的两段中一段长x cm，另一段长为(a－x) cm.
则x(a－x)＝8×18，即8×18≤2＝a2.
所以a2≥576＝242，即a≥24.
当且仅当x＝a－x，即x＝a＝12时等号成立．
所以CD的长的最小值为24 cm.
9．如图，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10，tan ∠BAC＝，则阴影部分的面积为( )
A.π B.π－24
C．24 D.π＋24
解析：选B ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，
∵tan ∠BAC＝，
∴sin ∠BAC＝.
又∵sin ∠BAC＝，AB＝10，
∴BC＝×10＝6.
AC＝×BC＝×6＝8，
∴S阴影＝S半圆－S△ABC＝×π×52－×8×6＝π－24.
10．(天津高考)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是( )
A．①② B．③④
C．①②③ D．①②④
解析：选D 由弦切角定理可得∠DBF＝∠DAB，又∠CBD＝∠CAD＝∠DAB，所以∠DBF＝∠CBD，即BD是∠CBF的平分线，所以①正确；由切割线定理可得②正确；由相交弦定理可得＝，所以③错误；因为△ABF∽△BDF，所以＝，即AF·BD＝AB·BF，所以④正确．故正确结论的序号是①②④.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)
11.如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝45°，则∠AEC＝________.
解析：如图，连接BC.根据圆周角定理的推论1，可知∠ACB＝90°.
∵∠ACD＝60°，
∴∠DCB＝30°，的度数＝60°.
∵∠ADC＝45°，∴的度数＝90°.
∴∠AEC＝∠DCB＋∠CBE＝(＋)的度数＝75°.
答案：75°
12．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.
解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5.
答案：5
13．如图，PA与⊙O相切于点A，过点P的割线与弦AC交于点B，与⊙O交于D，E两点，且PA＝PB＝BC，若PD＝4，DE＝21，则AB＝________.
解析：由切割线定理知
PA2＝PD·PE＝4×25＝100，
∴PA＝10，
∴BD＝PB－PD＝PA－PD＝10－4＝6，
BE＝DE－BD＝21－6＝15，
又AB·BC＝BE·BD，BC＝PA＝10，
∴AB＝＝＝9.
答案：9
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，圆E过A，B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝________.
解析：∵AB＝AC，∠C＝72°，∴∠ABC＝72°，
则∠BAC＝36°.
∵BC切圆E于点B，∴∠CBD＝∠BAC＝36°，
∴∠ABD＝∠BAC＝36°，
∴∠BDC＝∠ABD＋∠BAC＝36°＋36°＝72°，
∴∠C＝∠BDC，∴AD＝BD＝BC＝－1，
设CD＝x，由切割线定理得BC2＝CD·AC，
即(－1)2＝x·(x＋－1)，
即x2＋(－1)x－(－1)2＝0，
由于x>0，解得x＝3－，
∴AC＝CD＋AD＝(3－)＋(－1)＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点，过AD延长线上一点F作圆O的切线FG，G为切点，已知EF＝FG.
求证：(1)△DEF ∽△EAF；
(2)EF∥CB.
证明：(1)由切割线定理得FG2＝FA·FD.
又EF＝FG，所以EF2＝FA·FD，
即＝.
因为∠EFA＝∠DFE，
所以△DEF ∽△EAF.
(2)由(1)得∠FED＝∠FAE.
因为∠FAE＝∠DCB，
所以∠FED＝∠BCD，所以EF∥CB.
16．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．
证明：∠OCB＝∠D.
证明：因为B，C是圆O上的两点，
所以OB＝OC.
故∠OCB＝∠B.
又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，
故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，
所以∠B＝∠D.
因此∠OCB＝∠D.
17．(本小题满分12分)如图，AF是⊙O的直径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，DE⊥OB，垂足为E.
求证：(1)D是AB的中点；
(2)DE是⊙C的切线；
(3)BE·BF＝2AD·ED.
证明：(1)连接OD.
∵OA为⊙C的直径，
∴OD⊥AB.
又∵OD过⊙O的圆心，
∴D为AB的中点．
(2)连接CD.
∵C为OA的中点，
D为AB的中点，
∴CD∥OB.
又∵DE⊥OB，
∴CD⊥DE，即DE为⊙C的切线．
(3)∵AF为⊙O的直径，
∴∠ABF＝90°.
∵DE⊥OB，
∴∠BED＝90°.
∴∠ABF＝∠BED.
又∵OA＝OB，
∴∠BAF＝∠EBD.
∴△ABF∽△BED.
∴＝，即BE·BF＝AB·ED.
又AB＝2AD，
∴BE·BF＝2AD·ED.
18．(本小题满分14分)如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．
(1)证明：A，P，O，M四点共圆；
(2)求∠OAM＋∠APM的大小．
解：(1)证明：如图，连接OP，OM.
∵AP与⊙O相切于点P，
∴OP⊥AP.
∵M是⊙O的弦BC的中点，
∴OM⊥BC.
于是∠OPA＋∠OMA＝180°.
由圆心O在∠PAC的内部，
可知四边形APOM的对角互补，
∴A，P，O，M四点共圆．
(2)由(1)得A，P，O，M四点共圆，
∴∠OAM＝∠OPM.
由(1)得OP⊥AP.
由圆心O在∠PAC的内部，
可知∠OPM＋∠APM＝90°.
∴∠OAM＋∠APM＝90°.