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  • 高中数学选修4-4课时跟踪检测(一) 平面直角坐标系 Word版含解析

    2021-03-01 高三上册数学人教版

    课时跟踪检测(一) 平面直角坐标系
                                
    一、选择题
    1.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是(  )
    A.椭圆 B.比原来大的圆
    C.比原来小的圆 D.双曲线
    解析:选D 由伸缩变换的意义可得.
    2.已知线段BC长为8,点A到B,C两点距离之和为10,则动点A的轨迹为(  )
    A.直线 B.圆
    C.椭圆 D.双曲线
    解析:选C 由椭圆的定义可知,动点A的轨迹为一椭圆.
    3.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足||·| |+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为(  )
    A.y2=8x B.y2=-8x
    C.y2=4x D.y2=-4x
    解析:选B 由题意,得=(4,0),=(x+2,y),=(x-2,y),由||·||+·=0,
    得4+4(x-2)=0,整理,得y2=-8x.
    4.在同一坐标系中,将曲线y=3sin 2x变为曲线y′=sin x′的伸缩变换是(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选B 设则μy=sin λx,
    即y=sin λx.
    比较y=3sin 2x与y=sin λx,则有=3,λ=2.
    ∴μ=,λ=2.∴
    二、填空题
    5.y=cos x经过伸缩变换后,曲线方程变为________.
    解析:由得代入y=cos x,
    得y′=cosx′,即y′=3cosx′.
    答案:y=3cos
    6.把圆X2+Y2=16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x2+=1,则坐标变换公式是________.
    解析:设
    则代入X2+Y2=16得 +=1.
    ∴16λ2=1,16μ2=16.
    ∴故
    答案:
    7.△ABC中,B(-2,0),C(2,0),△ABC的周长为10,则点A的轨迹方程为________.
    解析:∵△ABC的周长为10,
    ∴|AB|+|AC|+|BC|=10.其中|BC|=4,
    即有|AB|+|AC|=6>4.
    ∴点A轨迹为椭圆除去B,C两点,且2a=6,2c=4.
    ∴a=3,c=2,b2=5.
    ∴点A的轨迹方程为+=1(y≠0).
    答案:+=1(y≠0)
    三、解答题
    8. 在同一平面直角坐标系中,将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x′2-y′2-4x′+3=0,求满足条件的伸缩变换.
    解:x2-36y2-8x+12=0可化为2-9y2=1.①
    x′2-y′2-4x′+3=0可化为(x′-2)2-y′2=1.②
    比较①②,可得即
    所以将曲线x2-36y2-8x+12=0上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的3倍,就可得到曲线x′2-y′2-4x′+3=0的图象.
    9.已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|=|BC|.
    证明:以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
    设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).
    则M点的坐标为.
    由于|BC|=,
    |AM|= =,
    故|AM|=|BC|.
    10.如图,椭圆C0:+=1(a>b>0,a,b为常数),动圆C1:x2+y2=t,b解:设 A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0),
    则直线A1A的方程为y=(x+a),①
    直线A2B的方程为y=(x-a).②
    由①②,得y2=(x2-a2).③
    由点A(x1,y1)在椭圆C0上,故+=1.
    从而y=b2,代入③,得
    -=1(x<-a,y<0),此方程即为点M的轨迹方程.
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