高中数学选修4-1学业分层测评8 圆的切线的性质及判定定理 Word版含解析

学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是(　　)
A．AB与⊙O相切于直线CD上的点C
B．CD经过圆心O
C．CD是直径
D．AB与⊙O相切于C，CD过圆心O
【解析】　圆的切线垂直于过切点的半径或直径．
【答案】　D
2．已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C．10 D．5
【解析】　如图，连接OC，
∠PAC＝30°，
由圆周角定理知，
∠POC＝2∠PAC＝60°，
由切线性质知∠OCP＝90°.
∴在Rt△OCP中，tan∠POC＝.
∴OC＝＝＝.
【答案】　A
3．如图2­3­13，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C＝36°，则∠ABD的度数是(　　)
图2­3­13
A．72°　　　　 B．63°
C．54° D．36°
【解析】　连接O B.
∵CD为⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.
∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°.
又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°，
∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°.
【答案】　B
4.如图2­3­14所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，点P是弧EG上的任意一点，则∠EPF＝(　　)
图2­3­14
A．120° B．90°
C．60° D．30°
【解析】　如图所示，连接OE，OF.
∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，
∴∠EOF＋∠ABC＝180°，
∴∠EOF＝120°，∴∠EPF＝∠EOF＝60°.
【答案】　C
5．如图2­3­15所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，则AO∶OB＝(　　)
图2­3­15
A．2∶1 B．1∶1
C．1∶2 D．1∶1.5
【解析】　如图所示，连接OD，OC，则OD⊥AC.
∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°.
∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△CDO≌△CBO，∴BC＝DC.
∵＝，∴AD＝DC，
∴BC＝AC.
又OB⊥BC，∴∠A＝30°，
∴OB＝OD＝AO，∴＝.
【答案】　A
二、填空题
6.如图2­3­16，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C.则⊙O的半径是________．
图2­3­16
【解析】　连接OE，设OE＝r，
∵OC＝OE＝r，BC＝12，
则BO＝12－r，AB＝＝13，
由△BEO∽△BCA，得＝，
即＝，解得r＝.
【答案】　
7．如图2­3­17，在半径分别为5 cm和3 cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为______cm.
图2­3­17
【解析】　连接OA，OC，
∵AB是小圆的切线，
∴OC⊥AB，∴AC＝A B.
∵在Rt△AOC中，
AC＝＝4(cm)，
∴AB＝8 cm.
【答案】　8
8．如图2­3­18所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.
图2­3­18
【解析】　连接OA.∵AP为⊙O的切线，
∴OA⊥AP.
又∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°.
∴在Rt△AOP中，OA＝1，PA＝OA·tan 60°＝.
【答案】　
三、解答题
9.如图2­3­19，已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线. 【导学号：07370040】
图2­3­19
【证明】　如图，连接OB，OC，OD，设OD交BC于E.
因为∠DCB是所对的圆周角，
∠BOD是所对的圆心角，
∠BCD＝45°，
所以∠BOD＝90°.
因为∠ADB是△BCD的一个外角，
所以∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°，
所以∠DOC＝2∠DBC＝30°，
从而∠BOC＝120°.
因为OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝30°.
在△OEC中，
因为∠EOC＝∠ECO＝30°，
所以OE＝EC.
在△BOE中，因为∠BOE＝90°，∠EBO＝30°，所以BE＝2OE＝2EC，
所以＝＝，
所以AB∥OD，所以∠ABO＝90°，
故AB是△BCD的外接圆的切线．
10．如图2­3­20，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE.
图2­3­20
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半径．
【解】　(1)证明：在△OCP与△CEP中，
∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE，
∴∠OCP＝∠CEP.
∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°，
∴∠OCP＝90°.
又∵C点在圆上，∴PC是⊙O的切线．
(2)法一：设OE＝x，则EA＝2x，OC＝OA＝3x.
∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°，
∴△OCE∽△OPC，
∴＝，
即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1，
∴OA＝3x＝3，即圆的半径为3.
法二：由(1)知PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°.
又∵CD⊥OP，由射影定理知OC2＝OE·OP，以下同法一．
[能力提升]
1．如图2­3­21，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin∠ACO等于(　　)
图2­3­21
A.　　　　 B.
C. D.
【解析】　连接BD，则BD⊥AC.
∵AD＝DC，∴BA＝BC，
∴∠BCA＝45°.
∵BC是⊙O的切线，切点为B，
∴∠OBC＝90°.
∴sin∠BCO＝＝＝，
cos ∠BCO＝＝＝.
∴sin∠ACO＝sin(45°－∠BCO)
＝sin45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO
＝×－×＝.
【答案】　A
2．如图2­3­22所示，已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R＝__________.
图2­3­22
【解析】　AB＝＝.
由AB2＝PB·BC，
∴BC＝3，Rt△ABC中，
AC＝＝2，
∴R＝.
【答案】　
3．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l，圆交于点D，E，则∠DAC＝__________，DC＝__________.
【解析】　连接OC，
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.
又∠DCA＋∠ACO＝90°，
∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴∠DCA＝∠OCB.
∵OC＝3，BC＝3，
∴△OCB是正三角形，
∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°，
∴∠DAC＝30°.
在Rt△ACB中，AC＝＝3，
DC＝ACsin 30°＝ .
【答案】　30°　
4．如图2­3­23，AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点D，AB，AC与圆分别相交于点E，F.
【导学号：07370041】
图2­3­23
(1)AE·AB与AF·AC有何关系？请给予证明；
(2)在图中，如果把直线BC向上或向下平移，得到图2­3­24(1)或图(2)，在此条件下，(1)题的结论是否仍成立？为什么？
图2­3­24
【解】　(1)AE·AB＝AF·AC.
证明：连接DE.
∵AD为⊙O的直径，∴∠DEA＝90°.
又∵BC与⊙O相切于点D，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠DEA.
又∵∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，
∴＝，即AD2＝AB·AE.
同理AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.
(2)(1)中的结论仍成立．
因为BC在平移时始终与AD垂直，设垂足为D′，
则∠AD′B＝90°.
∵AD为圆的直径，
∴∠AED＝∠AD′B＝90°.
又∵∠DAE＝∠BAD′，∴△ABD′∽△ADE，
∴＝，∴AB·AE＝AD·AD′.
同理AF·AC＝AD·AD′，故AE·AB＝AF·AC.