模块检测卷(一)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A.π B.4π C.8π D.9π
解析:选B 设P点的坐标为(x,y),
∵|PA|=2|PB|,
∴(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2].
即(x-2)2+y2=4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,它的面积为4π.
2.柱坐标对应的点的直角坐标是( )
A.(,-1,1) B.(,1,1) C.(1,,1) D.(-1,,1)
解析:选C 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式可得
3.在极坐标系中,点A的极坐标是(1,π),点P是曲线C:ρ=2sin θ上的动点,则|PA|的最小值是( )
A.0 B. C.+1 D.-1
解析:选D A的直角坐标为(-1,0),曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1,|AC|=,则|PA|min=-1.
4.直线(t为参数,θ是常数)的倾斜角是( )
A.105° B.75° C.15° D.165°
解析:选A 参数方程⇒
消去参数t得,y-cos θ=-tan 75°(x-sin θ),
∴k=-tan 75°=tan (180°-75°)=tan 105°.
故直线的倾斜角是105°.
5.双曲线(θ为参数)的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±2x
解析:选D 把参数方程化为普通方程得-x2=1,渐近线方程为y=±2x.
6.极坐标方程ρ=cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A.圆、直线 B.直线、圆
C.圆、圆 D.直线、直线
解析:选A ∵ρ=cos θ,∴x2+y2=x表示圆.
∵∴y+3x=-1表示直线.
7.已知点P的极坐标为(π,π),则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( )
A.ρ=π B.ρ=cos θ C.ρ= D.ρ=
解析:选D
设M(ρ,θ)为所求直线上任意一点,
由图形知|OM|cos∠POM=π,∴ρcos(π-θ)=π.∴ρ=.
8.直线l:y+kx+2=0与曲线C:ρ=2cos θ相交,则k满足的条件是( )
A.k≤- B.k≥-
C.k∈R D.k∈R且k≠0
解析:选A 由题意可知直线l过定点(0,-2),曲线C的普通方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.由图可知,直线l与圆相切时,有一个交点,此时=1,得-k=.若满足题意,只需-k≥.
即k≤-即可.
9.参数方程(θ为参数,0≤θ<2π)所表示的曲线是( )
A.椭圆的一部分
B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分,且过点
D.抛物线的一部分,且过点
解析:选D 由y=cos2==,可得sin θ=2y-1,由x=得x2-1=sin θ,∴参数方程可化为普通方程x2=2y,
又x=∈[0,].∴表示抛物线的一部分,且过点.
10.在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=,ρcos θ+ρsin θ=1围成的图形的面积为( )
A. B. C. D.
解析:选B 三条直线的直角坐标方程依次为y=0,y=x,x+y=1,如图所示,围成的图形为△OPQ,可得S△OPQ=|OQ|·|yP|=×1×=.
11.设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:选B 曲线C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,3为半径的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d==且3-<,故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.
12.已知直线(t为参数)与圆x2+y2=8相交于B、C两点,O为原点,则△BOC的面积为( )
A.2 B. C. D.
解析:选C ⇒(t′为参数).
代入x2+y2=8,得t′2-3t′-3=0,
∴|BC|=|t′1-t′2|===,
弦心距d= =,S△BCO=|BC|·d=.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.将参数方程(t为参数)转化成普通方程为________.
解析:参数方程变为∴-=4,∴-=1.
答案:-=1
14.在极坐标中,直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长为________.
解析:直线ρsin=2可化为x+y-2=0,圆ρ=4可化为x2+y2=16,由圆中的弦长公式,得2=2 =4.
答案:4
15.(广东高考)已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为________.
解析:曲线C的普通方程为:x2+y2= ( cos t)2+( sin t)2=2(cos2t+sin2t)=2,由圆的知识可知,圆心(0,0)与切点(1,1)的连线垂直于切线l,从而l的斜率为-1,由点斜式可得直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.由ρcos θ=x,ρsin θ=y,可得l的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-2=0.
答案:ρsin=
16.(重庆高考)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|=________.
解析:ρcos θ=4化为直角坐标方程为x=4,①
化为普通方程为y2=x3,②
①②联立得A(4,8),B(4,-8),
故|AB|=16.
答案:16
三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),M是C1上的动点,P点满足OP―→=2OM―→,P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
解:(1)设P(x,y),则由条件知M.由于M点在C1上,所以
即从而C2的参数方程为(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C2的极坐标方程为ρ1=8sin θ.
射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin ,射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin .所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.
18.(江苏高考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
解:因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1,得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.
同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.
联立方程组解得公共点的坐标为(2,2),.
19.(福建高考)(本小题满分12分)已知方程y2-6ysin θ-2x-9cos2θ+8cos θ+9=0,(0≤θ<2π).
(1)试证:不论θ如何变化,方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线;
(2)θ为何值时,该抛物线在直线x=14上截得的弦最长,并求出此弦长.
解:(1)证明:将方程y2-6ysin θ-2x-9cos 2θ+8cos θ+9=0可配方为(y-3sin θ)2=2(x-4cos θ)
∴图象为抛物线.
设其顶点为(x,y),则有
消去θ得顶点轨迹是椭圆+=1.
(2)联立
消去x,得y2-6ysin θ+9sin 2θ+8cos θ-28=0.
弦长|AB|=|y1-y2|=4,
当cos θ=-1,即θ=π时,弦长最大为12.
20.(本小题满分12分)曲线的极坐标方程为ρ=,过原点作互相垂直的两条直线分别交此曲线于A、B和C、D四点,当两条直线的倾斜角为何值时,|AB|+|CD|有最小值?并求出这个最小值.
解:由题意,设A(ρ1,θ),B(ρ2,π+θ),C,D.
则|AB|+|CD|=(ρ1+ρ2)+(ρ3+ρ4)
=+++=.
∴当sin22θ=1即θ=或θ=时,两条直线的倾斜角分别为,时,|AB|+|CD|有最小值16.
21.(辽宁高考)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos=2.
(1)求C1与C2交点的极坐标;
(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数).求a,b的值.
解:(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,
直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为,.
注:极坐标系下点的表示不唯一.
(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).
故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.
由参数方程可得y=x-+1,所以解得a=-1,b=2.
22.(辽宁高考)(本小题满分12分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得
由x+y=1得x2+2=1,
即曲线C的方程为x2+=1.
故C的参数方程为(t为参数).
(2)由解得或
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,化为极坐标方程,并整理得
2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=.