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    2021-03-03 高三上册数学人教版

    模块检测卷(一)
    一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
    1.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于(  )
    A.π B.4π C.8π D.9π
    解析:选B 设P点的坐标为(x,y),
    ∵|PA|=2|PB|,
    ∴(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2].
    即(x-2)2+y2=4.
    故P点的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,它的面积为4π.
    2.柱坐标对应的点的直角坐标是(  )
    A.(,-1,1) B.(,1,1) C.(1,,1) D.(-1,,1)
    解析:选C 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式可得
    3.在极坐标系中,点A的极坐标是(1,π),点P是曲线C:ρ=2sin θ上的动点,则|PA|的最小值是(  )
    A.0 B. C.+1 D.-1
    解析:选D A的直角坐标为(-1,0),曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1,|AC|=,则|PA|min=-1.
    4.直线(t为参数,θ是常数)的倾斜角是(  )
    A.105° B.75° C.15° D.165°
    解析:选A 参数方程⇒
    消去参数t得,y-cos θ=-tan 75°(x-sin θ),
    ∴k=-tan 75°=tan (180°-75°)=tan 105°.
    故直线的倾斜角是105°.
    5.双曲线(θ为参数)的渐近线方程为(  )
    A.y=±x B.y=±x
    C.y=±x D.y=±2x
    解析:选D 把参数方程化为普通方程得-x2=1,渐近线方程为y=±2x.
    6.极坐标方程ρ=cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(  )
    A.圆、直线 B.直线、圆
    C.圆、圆 D.直线、直线
    解析:选A ∵ρ=cos θ,∴x2+y2=x表示圆.
    ∵∴y+3x=-1表示直线.
    7.已知点P的极坐标为(π,π),则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为(  )
    A.ρ=π B.ρ=cos θ C.ρ= D.ρ=
    解析:选D 
    设M(ρ,θ)为所求直线上任意一点,
    由图形知|OM|cos∠POM=π,∴ρcos(π-θ)=π.∴ρ=.
    8.直线l:y+kx+2=0与曲线C:ρ=2cos θ相交,则k满足的条件是(  )
    A.k≤- B.k≥-
    C.k∈R D.k∈R且k≠0
    解析:选A 由题意可知直线l过定点(0,-2),曲线C的普通方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.由图可知,直线l与圆相切时,有一个交点,此时=1,得-k=.若满足题意,只需-k≥.
    即k≤-即可.
    9.参数方程(θ为参数,0≤θ<2π)所表示的曲线是(  )
    A.椭圆的一部分
    B.双曲线的一部分
    C.抛物线的一部分,且过点
    D.抛物线的一部分,且过点
    解析:选D 由y=cos2==,可得sin θ=2y-1,由x=得x2-1=sin θ,∴参数方程可化为普通方程x2=2y,
    又x=∈[0,].∴表示抛物线的一部分,且过点.
    10.在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=,ρcos θ+ρsin θ=1围成的图形的面积为(  )
    A. B. C. D.
    解析:选B 三条直线的直角坐标方程依次为y=0,y=x,x+y=1,如图所示,围成的图形为△OPQ,可得S△OPQ=|OQ|·|yP|=×1×=.
    11.设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为(  )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    解析:选B 曲线C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,3为半径的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d==且3-<,故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.
    12.已知直线(t为参数)与圆x2+y2=8相交于B、C两点,O为原点,则△BOC的面积为(  )
    A.2 B. C. D.
    解析:选C ⇒(t′为参数).
    代入x2+y2=8,得t′2-3t′-3=0,
    ∴|BC|=|t′1-t′2|===,
    弦心距d= =,S△BCO=|BC|·d=.
    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    13.将参数方程(t为参数)转化成普通方程为________.
    解析:参数方程变为∴-=4,∴-=1.
    答案:-=1
    14.在极坐标中,直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长为________.
    解析:直线ρsin=2可化为x+y-2=0,圆ρ=4可化为x2+y2=16,由圆中的弦长公式,得2=2 =4.
    答案:4
    15.(广东高考)已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为________.
    解析:曲线C的普通方程为:x2+y2= ( cos t)2+( sin t)2=2(cos2t+sin2t)=2,由圆的知识可知,圆心(0,0)与切点(1,1)的连线垂直于切线l,从而l的斜率为-1,由点斜式可得直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.由ρcos θ=x,ρsin θ=y,可得l的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-2=0.
    答案:ρsin=
    16.(重庆高考)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|=________.
    解析:ρcos θ=4化为直角坐标方程为x=4,①
    化为普通方程为y2=x3,②
    ①②联立得A(4,8),B(4,-8),
    故|AB|=16.
    答案:16
    三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
    17.(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),M是C1上的动点,P点满足OP―→=2OM―→,P点的轨迹为曲线C2.
    (1)求C2的方程;
    (2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
    解:(1)设P(x,y),则由条件知M.由于M点在C1上,所以
    即从而C2的参数方程为(α为参数)
    (2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C2的极坐标方程为ρ1=8sin θ.
    射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin ,射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin .所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.
    18.(江苏高考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
    解:因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1,得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.
    同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.
    联立方程组解得公共点的坐标为(2,2),.
    19.(福建高考)(本小题满分12分)已知方程y2-6ysin θ-2x-9cos2θ+8cos θ+9=0,(0≤θ<2π).
    (1)试证:不论θ如何变化,方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线;
    (2)θ为何值时,该抛物线在直线x=14上截得的弦最长,并求出此弦长.
    解:(1)证明:将方程y2-6ysin θ-2x-9cos 2θ+8cos θ+9=0可配方为(y-3sin θ)2=2(x-4cos θ)
    ∴图象为抛物线.
    设其顶点为(x,y),则有
    消去θ得顶点轨迹是椭圆+=1.
    (2)联立
    消去x,得y2-6ysin θ+9sin 2θ+8cos θ-28=0.
    弦长|AB|=|y1-y2|=4,
    当cos θ=-1,即θ=π时,弦长最大为12.
    20.(本小题满分12分)曲线的极坐标方程为ρ=,过原点作互相垂直的两条直线分别交此曲线于A、B和C、D四点,当两条直线的倾斜角为何值时,|AB|+|CD|有最小值?并求出这个最小值.
    解:由题意,设A(ρ1,θ),B(ρ2,π+θ),C,D.
    则|AB|+|CD|=(ρ1+ρ2)+(ρ3+ρ4)
    =+++=.
    ∴当sin22θ=1即θ=或θ=时,两条直线的倾斜角分别为,时,|AB|+|CD|有最小值16.
    21.(辽宁高考)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos=2. 
    (1)求C1与C2交点的极坐标;
    (2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数).求a,b的值.
    解:(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,
    直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
    解得
    所以C1与C2交点的极坐标为,.
    注:极坐标系下点的表示不唯一.
    (2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).
    故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.
    由参数方程可得y=x-+1,所以解得a=-1,b=2.
    22.(辽宁高考)(本小题满分12分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
    (1)写出C的参数方程;
    (2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
    解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得
    由x+y=1得x2+2=1,
    即曲线C的方程为x2+=1.
    故C的参数方程为(t为参数).
    (2)由解得或
    不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,化为极坐标方程,并整理得
    2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=.
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