高中数学选修4-5课时提升作业 四 1.2.1

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课时提升作业 四
绝对值三角不等式
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.已知|x-m|<,|y-n|<,则|4x+2y-4m-2n|小于　(　　)
A.ξ　　　　　B.2ξ　　　　　C.3ξ　　　　　D.
【解析】选C.|4x+2y-4m-2n|=|4(x-m)+2(y-n)|
≤4|x-m|+2|y-n|<4×+2×=3ξ.
【补偿训练】若|x-a|A.|x-y|<2h　　　　 B.|x-y|<2k
C.|x-y|【解析】选C.|x-y|=|(x-a)+(a-y)|
≤|x-a|+|a-y|2.(2016·商丘高二检测)已知x∈R,不等式|x+1|-|x-3|≤a恒成立,则实数a的取值范围为　(　　)
A.(-∞,4] B.[4,+∞)
C.[1,3] D.[-1,3]
【解析】选B.因为x∈R,所以|x+1|-|x-3|≤|(x+1)-(x-3)|=4,
故使不等式|x+1|-|x-3|≤a恒成立的实数a的取值范围为a≥4.
3.设变量x,y满足|x-1|+|y-a|≤1,若2x+y的最大值是5,则实数a的值是
(　　)
A.2 B.1 C.0 D.-1
【解析】选B.设点M(1,a),则满足|x-1|+|y-a|≤1的点(x,y)构成区域为平行四边形ABCD及其内部,
如图所示:
令z=2x+y,则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距,故当直线y=-2x+z过点C(2,a)时,z取得最大值为5,即4+a=5,求得a=1.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为________.
【解题指南】利用绝对值不等式及绝对值的几何意义求解.
【解析】由|a|+|b|≥|a-b|知,|x|+|x-1|≥
|x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|≥1,又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,
故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,
所以0≤x≤1且0≤y≤1,即0≤x+y≤2.
答案:[0,2]
5.若不等式|2a-1|≤对一切非零实数x恒成立,则实数a的取值范围是____________.
【解析】=|x|+≥2,
所以由已知得|2a-1|≤2,
即2a-1≤2或2a-1≥-2,解得-≤a≤.
答案:[-,]
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.若存在x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围.
【解析】f(x)=|2x-1|-|x+2|=
所以f(x)min=f=-.
因为存在x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,
所以4m-2m2>f(x)min=-,
整理得:4m2-8m-5<0,解得-因此m的取值范围是.
7.已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.
【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式.
【解析】f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,
因为x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥
|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,
于是有m+1≤-2,得m≤-3,
即m的取值范围是(-∞,-3].
8.(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集.
(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2,
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当x∈R时,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,
所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于
|1-a|+a≥3,　　　　①
当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.
当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知h>0,设命题甲:两个实数a,b满足|a-b|<2h,命题乙:两个实数a,b满足|a-1|A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充分条件
D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
【解析】选B.|a-b|=|(a-1)-(b-1)|≤|a-1|+|b-1|.
若有甲:|a-b|<2h,不一定有乙:|a-1|故甲不是乙的充分条件,反之,由乙则可推出甲:2h>|a-1|+|b-1|≥|a-1-(b-1)|=|a-b|.
2.(2016·济南高二检测)已知不等式|x-m|<1成立的一个充分不必要条件是A. B.
C. D.
【解析】选B.由|x-m|<1得m-1二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·九江高二检测)已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则实数a的取值范围为________.
【解析】由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,
所以若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,
则|a-3|≥a,解得a≤,
所以实数a的取值范围是.
答案:
4.(2016·济南高二检测)以下三个命题:
①若|a-b|≤1,则|a|≤|b|+1;
②若a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|;
③|x|<2,|y|>3,则<.
其中正确命题的序号为________.
【解析】因为|a|-|b|≤|a-b|≤1,
所以|a|≤|b|+1,故①正确;
因为|a+b|-2|a|=|a+b|-|2a|≤|(a+b)-2a|
=|a-b|,故②正确;③显然正确.
答案:①②③
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·南昌高二检测)设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M,证明:<.
【证明】记f(x)=|x-1|-|x+2|
=
由-2<-2x-1<0,解得-则M=.
因为a,b∈M,所以|a|<,|b|<,
所以≤|a|+|b|<×+×=.
【拓展延伸】含绝对值不等式的证明
证明含有绝对值的不等式,其思路主要有两条:
(1)恰当地运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩,并注意不等号的传递性及等号成立的条件.
(2)把含绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式,再利用比较法、综合法及分析法等进行证明,其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法或分类讨论法.
6.对于任意的实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立,记实数M的最大值是m,求m的值.
【解析】不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立,
即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立,即左边恒小于或等于右边的最小值.
因为|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,
当且仅当(a-b)(a+b)≥0时等号成立,
即|a|≥|b|时,等号成立,
也就是的最小值是2.所以m=2.
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