课时跟踪检测(四) 演绎推理
一、选择题
1．给出下面一段演绎推理：
有理数是真分数，……………………………大前提
整数是有理数，……………………………小前提
整数是真分数．……………………………结论
结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：选A 推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．
2．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( )
A．演绎推理 B．类比推理
C．合情推理 D．归纳推理
解析：选A 是由一般到特殊的推理，故是演绎推理．
3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由三角形的性质，推测四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出an的通项公式
解析：选A B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
解析：选B 推理的大前提应该是矩形的对角线相等，表达此含义的选项为B.
5．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：选A 大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．
二、填空题
6．若有一段演绎推理：“大前提：整数是自然数．小前提：－3是整数．结论：－3是自然数．”这个推理显然错误，则推理错误的是________(填“大前提”“小前提”或“结论”)．
解析：整数不全是自然数，还有零与负整数，故大前提错误．
答案：大前提
7．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形．”若将其恢复成完整的三段论，则大前提是____________________．
解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形．
小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52.结论：△ABC是直角三角形．
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
8．若不等式ax2＋2ax＋2＜0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
解析：①a＝0时，有2＜0，显然此不等式解集为∅.
②a≠0时需有⇒⇒
所以0＜a≤2.
综上可知，实数a的取值范围是[0,2]．
答案：[0,2]
三、解答题
9．如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：
(1)平面AD1E∥平面BGF；
(2)D1E⊥AC.
证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，
∴D1F綊BE，
∴四边形BED1F是平行四边形，
∴D1E∥BF.
又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，
∴D1E∥平面BGF.
∵F，G分别是D1D和DA的中点，
∴FG是△DAD1的中位线，
∴FG∥AD1.
又∵AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，
∴AD1∥平面BGF.
又∵AD1∩D1E＝D1，
∴平面AD1E∥平面BGF.
(2)连接BD，B1D1，
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵D1D⊥AC，BD∩D1D＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1.
∵D1E⊂平面BDD1B1，
∴D1E⊥AC.
10．在数列中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明数列是等比数列．
(2)求数列的前n项和Sn.
(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
解：(1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
又a1－1＝1，
所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，
于是数列的通项公式为an＝4n－1＋n.
所以数列的前n项和Sn＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N*，
Sn＋1－4Sn＝＋－4＋＝－(3n2＋n－4)≤0.
所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．